专题07-方程与不等式---初升高数学衔接教材系列一(解析版)

1专题07方程与不等式高中必备知识点1：二元二次方程组的解法方程22260xxyyxy是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x,2xy,2y叫做这个方程的二次项,x,y叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;xyxyxy222220,560.xyxxyy第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．典型考题【典型例题】已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解.【答案】,当时;当时【解析】把②代入①后计算得，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m）2−4（2m2+1）•12＝0，解得：，2当时，解得当时，解得【变式训练】解方程组：【答案】【解析】，由①得（x+y）（x-2y）=0，∴x+y=0或x-2y=0，由②得（x+y）2=1，∴x+y=1或x+y=-1，所以原方程组化为，所以原方程组的解为．【能力提升】解方程组：【答案】【解析】由②得：所以,3.高中必备知识点2：一元二次不等式的解法为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－b2a；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；（1）4不等式ax2＋bx＋c＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．典型考题【典型例题】解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；【答案】(1)4{x/-2x}3.(2){x/-2x1,23}x.【解析】(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.【变式训练】求不等式2460xx的解．5【答案】{|2xx或26}x【解析】由题意，不等式2460xx，可得24060xx或24060xx，由不等式组24060xx，可得解集为由不等式组24060xx，可得解集为2x≤或26x，所以不等式的解集为{|2xx或26}x.【能力提升】解下列不等式：（1）0622xx；（2）012xx；（3）(31)(1)4xx．【答案】（1）3{|2}2xx；（2）R；（3）5{|3xx或1}x.【解析】（1）由题意，不等式0622xx，可化为23262(2)()02xxxx，所以不不等式的解集为3{|2}2xx；（2）由题意，可得22131()024xxx，所以不等式的解集为R；（3）由不等式(31)(1)4xx，可化为23250xx，即5(1)()03xx，6所以不等式的解集为5{|3xx或1}x.专题验收测试题1．不等式组3413{1xx的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：解不等式3x＋4≤13，得：x≤3，解不等式﹣x＜1，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，故选：D．2．20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系.本题等量关系为：①男女生共20人；②男女生共植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.据此列出方程组：.故选D．3．解不等式，解题依据错误的是（）7解：①去分母，得5（x+2）＜3（2x﹣1）②去括号，得5x+10＜6x﹣3③移项，得5x﹣6x＜﹣3﹣10④合并同类项，得﹣x＜﹣13⑤系数化1，得x＞13A．②去括号法则B．③不等式的基本性质1C．④合并同类项法则D．⑤不等式的基本性质2【答案】D【解析】由题目中的解答步骤可知，②去括号法则，故选项A正确，③不等式的基本性质1，故选项B正确，④合并同类项法则，故选项C正确，⑤不等式的基本性质3，故选项D错误，故选：D．4．已知温州至杭州铁路长为380千米，从温州到杭州乘“G”列动车比乘“D”列动车少用20分钟，“G”列动车比“D”列动车每小时多行驶30千米，设“G”列动车速度为每小时x千米，则可列方程为（）A．3803802030xxB．3803802030xxC．3803801303xxD．3803801303xx【答案】D【解析】解：设“G”列动车速度为每小时x千米，则“D”列动车速度为每小时（x﹣30）千米，依题意，得：3803801303xx．故选：D．5．不等式组3(2)24251xxxx的整数解有（）8A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解析】解：解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞﹣3．∴原不等式组的解集为﹣3＜x≤2．又∵x为整数，∴x＝﹣2，﹣1，0，1，2．故选：C．6．方程组的实数解的个数是（）A．4B．2C．1D．0【答案】B【解析】由①得原方程组可以转化为解得或无解．故方程组的实数解的个数是2个．故选：B．7．以下说法：①关于x的方程的解是x=c（c≠0）；②方程组正整数的解有2组；③已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；其中正确的有（）A．②③B．①②C．①③D．①②③【答案】A【解析】①于x的方程x+==c+的解是x=c或x=（c≠0），此项错误；②方程组的正整数9解有2组，方程组，因x、y、z是正整数，可得x+y≥2，又因23只能分解为23×1方程②变为（x+y）z=23，所以只能是z=1，x+y=23将z=1代入原方程转化为，解得x=2，y=21或x=20，y=3；所以这个方程组的正整数解是（2，21，1）、（20，3，1），此项正确；③关于x，y的方程组，其中-3≤a≤1，解得x=1+2a，y=1-a，x+y=2+a，当a=1时，x+y=3，故方程组的解也是方程x+y=4-a=3的解，此项正确．故选A．点睛：此题主要考查了分式方程的解法以及二元二次方程组的解法等知识，正确将原式变形是解题关键．8．二元二次方程组的解是A．B．C．D．【答案】C【解析】本题可将选项中的四组答案代入检验看是否符合二元二次方程组．也可根据第一个式子，得出的关系，代入第二个式子求解依题意得=3-∴y=（3-=-10-2+3+10=02-3-10=0（-5）（+2）=01=5，2=-2∴方程的解为：，故选C9．一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k≥4C．k≤4D．k≤4且k≠0【答案】D【解析】根据题意得k≠0且△＝42﹣4k≥0，10解得k≤4且k≠0．故选：D．10．一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是（）A．方程没有实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根D．方程的根是1、﹣5和【答案】C【解析】解：∵原方程可化为x2+x﹣7＝0，∴a＝1，b＝1，c＝﹣7，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．11．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_____．【答案】2＜m≤3【解析】根据不等式组有3个整数解,可得:.故答案为:.12．关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为_____．【答案】﹣1⩽x＜2．【解析】解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的线且﹣1处是实心圆，表示x⩾﹣1；从2出发向左画出的线且2处是空心圆，表示x＜2，不等式组的解集是指它们的公共部分．所以这个不等式组的解集是﹣1⩽x＜2．1113．不等式组的解集是_____．【答案】【解析】解：解不等式2x＋4＞0，得：x＞−2，解不等式x−3（x−2）＞4，得：x＜1，则不等式组的解集为−2＜x＜1，故答案为：−2＜x＜1．14．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是_____．【答案】m≤2【解析】解：由题意知，△＝4﹣4（m﹣1）≥0，∴m≤2，故答案为：m≤2．15．方程x2+2x＝0的解为_____．【答案】0，﹣2．【解析】x2+2x＝0,x（x+2）＝0,∴x＝0或x+2＝0,∴x＝0或﹣2,故本题的答案是0，﹣2．16．设是方程的两个实数根，则的值为_____．【答案】2019【解析】解：根据题意得：α＋β＝1，α3−2021α−β+1＝α（α2−2020）−（α＋β）+1＝α（α2−2020）−1+1=α（α2−2020），12∵α2−α−2019＝0，∴α2−2020＝α−1，把α2−2020＝α−1代入原式得：原式＝α（α−1）＝α2−α＝2019.故答案为：2019.17．已知关于的一元二次方程，其中为常数.（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若抛物线轴交于两点，且，求的值；【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）∵，，∴原方程总有两个不相等实数根（2）解：∵∴∴由题意：方程的两根为∴，代入上式，得，∴，∴，∴.1318．（1）用配方法解方程：x2-2x-2=0；（2）已知关于x的方程（m-2）x2+（m-2）x-1=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）x1=1+，x2=1-；（2）m的值为-2．【解析】解：（1）∵x2-2x-2=0，∴x2-2x=2，则x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3，∴x-1=，则x1=1+，x2=1-；（2）由题意，△=0即（m-2）2+4（m-2）=0，解得m1=2，m2=-2，又由m-2≠0，得m≠2，∴m的值为-2．19．已知关于x一元二次方程，(1)当时，试解这个方程；(2)若方程的两个实数根为，且，求的值.【答案】（1）（2）c=4【解析】解：(1)当时，原方程为，.∴(2)∵，∴∴∴14解得：c=4∴c=420．某学校准备采购一批茶艺耗材和陶艺耗材.经查询，如果按照标价购买两种耗材，当购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍时，购买茶艺耗材共需要1