向量数量积专题(总)

平面向量的数量积【知识点精讲】一、平面向量的数量积（1）已知两个非零向量a和b，记为OAaOBb，，则)0(AOB叫做向量a与b的夹角，记作,ab，并规定,0,ab。如果a与b的夹角是2，就称a与b垂直，记为.ab（2）cos,abab叫做向量a与b的数量积（或内积），记作ab，即ba=cos,abab.规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a与b垂直的充要条件是0.ab两个非零向量a与b平行的充要条件是.abab二、平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度a与b在a方向上的投影cosb的乘积，即cosabab（b在a方向上的投影为cosabba）；a在b方向上的投影为cos.abab三、平面向量数量积的重要性质性质1cos.eaaea性质20.abab性质3当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；22aaaa或2.aa性质4cos(00)ababab且性质5abab注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。四、平面向量数量积满足的运算律（1）abba（交换律）；（2）ababab（为实数）；（3）abcacbc（分配律).数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律abcabc，不可约分abac不能得到bc。五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量1122,,,,axybxy则1212abxxyy，由此得到：（1）若,,axy则2222aaxy或22;axy（2）设,,,,2211yxByxA则BA,两点间距离;221212yyxxAB（3）设1122,,,,axybxy是a与b的夹角，则.cos222221212121yxyxyyxx①非零向量,ab，ab的充要条件是.02121yyxx②由1cos222221212121yxyxyyxx得.2222212122121yxyxyyxx六、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.baba（2）当0a时，由0ab不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向量b都有0ba。当0a且abac时，也不能推出一定有bc，当b是与a垂直的非零向量，c是另一与a垂直的非零向量时，有abac，但.bc（3）数量积不满足结合律，即abcbca，这是因为abc是一个与c共线的向量，而bca是一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以abc不一定等于bca。即凡有数量积的结合律形成的选项，一般都是错误选项。（4）非零向量夹角为锐角（或钝角），当且仅当0ab且0ab（或0ab且0ab）.【题型归纳】一、平面向量的数量积【例1】（1）在ABCRt中，，，4900ACC则ACAB().16.A8.B8.C16.D（2）（2012北京理13）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则CBDE的值为；DCDE的最大值为。（3）在ABC中，M是BC的中点，1AM，点P在AM上且满足PMAP2，则PCPBPA等于（）.94.A34.B8.C16.D【变式1】如图5-27所示，在平行四边形ABCD中，BDAP，垂足为P，且3AP,则ACAP.【变式2】在ABC中，321ACBCAB，，，若G为ABC的重心，则ACAG.【例2】如图528所示，在矩形ABCD中，2AB，2BC，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是.【变式1】如图530所示，在ABC中，°120BAC，2AB，1AC，D是边BC上一点，2DCBD，则ADBC.【变式2】如图531所示，在ABC中，ADAB，3BCBD，1AD，则ACAD.【变式3】已知ABC为等边三角形，2AB，设点,PQ满足APAB，(1)AQAC，R，若32BQCP，则（）。1.2A12.2B110.2C322.2D【例3】已知向量,,abc满足0abc，1,2,2abc，则abbcac.【变式1】在ABC中，若3,4,6ABBCAC，则ABBCBCCACAAB.【变式2】已知向量,,abc满足0abc，且ab，1,2ab，则c=.【变式3】已知向量,,abc满足0abc，且(),abcab若1a，则222abc.【例4】设,,abc是单位向量，且0ab，则()()acbc的最小值为（）.2A.22B.1C.12D【变式1】已知,ab是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c满足()()0acbc,则c的最大值是（）..1A.2B.2C2.2D【变式2】（2012安徽理14）若平面向量,ab满足23ab，则,ab的最小值是.【例5】在ABC中，M是BC的中点，3,10AMBC，则ABAC=.二、平面向量的夹角求夹角，用数量积，由cosabab，得121222221122cosxxyyababxyxy，进而求得向量,ab夹角.【例1】已知向量(1,3),(2,0)ab,则a与b则的夹角是.【例2】已知,ab是非零向量且满足(2),(2)ababab，则a与b则的夹角是（）..6A.3B2.3C5.6D【例3】已知向量,,abc满足1,2,,abcabca，则a与b则的夹角等于（）..30A.60B.120C.90D【变式1】若,ab是两个非零向量，且abab，则a与ab则的夹角为.【变式2】若平面向量,满足1,1，且以向量,为邻边的平行四边形的面积为12，则与的夹角的取值范围是.【例4】已知2,1ab，a与b的夹角为45，求使向量ab与ab的夹角为锐角的的取值范围.【变式1】设两个向量12,ee，满足122,1ee，1e与2e的夹角为3，若向量1227tee与12ete的夹角为钝角，求实数t的范围.【变式2】已知a与b均为单位向量，其夹角为,有下列四个命题：12:10,3pab；22:1,3pab；3:10,3pab；4:1,3pab.其中的真命题是（）.12.,App13.,Bpp23C.,pp24D.,pp【变式3】若向量a与b不共线，0ab，且()aacabab，则向量a与c的夹角为（）..0A.6BC.3D.2三、平面向量的模长求模长，用平方，2.aa【例1】已知5ab，向量a与b的夹角为3，求,abab.【变式1】已知向量,ab满足1,2ab，a与b的夹角为60，则_________ab.【变式2】已知向量,ab满足1,2ab，2ab，则ab等于（）..1A.2BC.5D.6【变式3】在ABC中，已知3,4,60ABBCABC，求AC.【例2】已知，向量a与b的夹角为120，3,13aab,则b等于（）..5A.4BC.3D.1【变式1】已知向量,ab的夹角为45，且1,210aab，则_________b.【变式2】已知2ab，22abab则a与b的夹角为_________，【变式3】设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216BC，ABACABAC则AM（）.8A.4BC.2D.1【例3】已知平面向量,0,，满足1，且与的夹角为120，则的取值范围是_________.【变式1】若,,abc均为单位向量，且0ab，0acbc，则abc的最大值为（）..21A.1BC.2D.2【变式2】已知,ab是单位向量，0ab，若向量c满足1cab，则c的取值范围是（）..21,21A.21,22BC.1,21D.1,22【例4】在平面上，12,ABAB121OBOB，12APABAB.若12OP，则OA的取值范围是（）.5.0,2A57.,22B5C.,227D.,22【变式1】在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则222PAPBPC（）.2A.4BC.5D.10加强练习：例1：在ABC中，O为BC中点，若1,3,60ABACA，则OA_____例2：若,,abc均为单位向量，且0,0abacbc，则abc的最大值为（）A.21B.1C.2D.2例3：平面上的向量,MAMB满足24MAMB，且0MAMB，若1233MCMAMB，则MC的最小值为___________例4：已知平面向量,满足23，且与2的夹角为150，则32ttR的最小值是（）A.34B.33C.32D.3例5：已知平面向量,OAOB的夹角2,33，且3OAOB，若1233OPOAOB，则OP的取值范围是__________例6：已知2,6,2ababa，R，则ab的最小值是（）A.4B.23C.2D.3例7：已知直角梯形ABCD中，AD∥,90,2,1BCADCADBC，P为腰CD上的动点，则23PAPB的最小值为__________例8：如图，在边长为1的正三角形ABC中，,EF分别是边,ABAC上的动点，且满足,AEmABAFnAC，其中,0,1,1mnmn，,MN分别是,EFBC的中点，则MN的最小值为（）A.24B.33C.34D.53例9：已知OA与OB的夹角为，=2OA，=1OB，且OPtOA，1OQtOB（）,PQ在0t时取到最小值。当0105t时，的取值范围是（）NMABCEFA.0,3B.,32C.2,23D.20,3类型四平面向量与三角函数结合题1.已知向量(2sin,cos)42xxm，(cos,3)4xn，设函数()fxmn⑴求函数()fx的解析式（2）求()fx的最小正周期；（3）若0x，求()fx的最大值和最小值．2.已知322，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为(3,0)A、(0,3)B、(cos,sin)C.(1)若||||ACBC，求角的值；(2)当1ACBC时，求22sinsin(2)1tan的值.3.已知的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量（1）如果求a的值；（2）若请判断的形状.4.已知向量)cos2,(sin),sin,2(2xxbxa,函数baxf)((1)求)(xf的周期和单调增区间；ABC))sin(,1(ABm).1),2sin((sinACn,3,3,2SABCCc的面积且,nmABC(2)若在ABC中，角CBA,,所对的边分别是cba,,，CbBcacoscos)2(，求)(Af的取值范围。有效训练题1.下列命题中真命题的个数为（）.①若0ab,则ab；②若abbc