中考数学能力提升(几何之几何模型)

2015中考数学能力提升专题把生活变成梦想，把梦想变成现实！第1页专题三：几何问题（一）初中几何常见模型解析模型一：手拉手模型-全等（1）等边三角形条件：,OABOCD均为等边三角形结论：①OACOBD；②60AEB；③OE平分AED。（2）等腰RT条件：,OABOCD均为等腰直角三角形结论：①OACOBD；②90AEB；③OE平分AED。（3）任意等腰三角形条件：,OABOCD均为等腰三角形结论：①OACOBD；②AEBAOB；③OE平分AED。模型二：手拉手模型-相似（1）一般情况条件：//CDAB，将OCD旋转至右图位置结论：右图中①OCDOABOACOBD∽∽；②延长AC交BD于点E，必有BECBOA2015中考数学能力提升专题把生活变成梦想，把梦想变成现实！第2页（2）特殊情况条件：//CDAB，90AOB，将OCD旋转至右图位置结论：右图中①OCDOABOACOBD∽∽；②延长AC交BD于点E，必有BECBOA；③tanBDODOBOCDACOCOA；④BDAC；⑤连接AD、BC，必有2222ADBCABCD；⑥12ABCDSACBD（对角线互相垂直的四边形）模型三：对角互补模型（1）全等型-90°条件：①90AOBDCE；②OC平分AOB结论：①CD=CE;②2ODOEOC；③212ODCEOCDOCESSSOC证明提示：①作垂直，如图，证明CDMCEN；②过点C作CFOC,如上图（右），证明ODCFEC；当DCE的一边交AO的延长线于点D时：以上三个结论：①CD=CE（不变）；②2OEODOC；③212OCEOCDSSOC此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。若将条件“OC平分AOB”与结论“CD=CE”互换，则有：条件：①90AOBDCE；②CD=CE；结论：①OC平分AOB；②2ODOEOC；③212ODCEOCDOCESSSOC2015中考数学能力提升专题把生活变成梦想，把梦想变成现实！第3页（2）全等型-120°条件：①2120AOBDCE；②OC平分AOB；结论：①CDCE；②ODOEOC；③234ODCEOCDOCESSSOC证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明OCF为等边三角形。当DCE的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）：原结论变成：①；②；③；可参考上述第②种方法进行证明。（3）全等型-任意角条件：①2,1802AOBDCE；②CDCE；结论：①OC平分AOB；②2cosODOEOC；③2sincosODCEOCDOCESSSOC.当DCE的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）：原结论变成：①；②；③；可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。2015中考数学能力提升专题把生活变成梦想，把梦想变成现实！第4页如图所示，若将条件“OC平分AOB”去掉，条件①不变，OC平分AOB，结论变化如下：结论：①tanCECD；②(tan)cosCDOEOC；③221tantan2OCDOCESSOC.对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③两种常见的辅助线作法；④注意下图中OC平分AOB时，CDECEDCOACO相等是如何推导的？2015中考数学能力提升专题把生活变成梦想，把梦想变成现实！第5页模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90°-1条件：①正方形ABCD；②45EAF；结论：①EFDFBE；②CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：条件：①正方形ABCD；②EFDFBE结论：45EAF（2）角含半角模型90°-2条件：①正方形ABCD；②45EAF；结论：EFDFBE辅助线如下图所示：（3）角含半角模型90°-3条件：①RTABC；②45DAE；结论：222BDCEDE若DAE旋转到ABC外部时，结论222BDCEDE仍然成立。（4）角含半角模型90°变形条件：①正方形ABCD；②45EAF；结论：AHE为等腰直角三角形。角含半角要旋转2015中考数学能力提升专题把生活变成梦想，把梦想变成现实！第6页模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型-1条件：①矩形ABCD；②BDBE;③DFEF；结论：AFCF模型提取：①有平行线//ADBE；②平行线间线段有中点DFEF；可以构造“8”字全等ADFHEF。（2）倍长中线类模型-2条件：①平行四边形ABCD；②2BCAB；③AMDM；④CEAD.结论：3EMDMEA模型六：相似三角形360°旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型-倍长中线法条件：①ADE、ABC均为等腰直角三角形；②EFCF结论：①DFBF；②DFBF（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型-补全法条件：①ADE、ABC均为等腰直角三角形；②EFCF；结论：①DFBF；②DFBF2015中考数学能力提升专题把生活变成梦想，把梦想变成现实！第7页（2）任意相似直角三角形360°旋转模型-补全法条件：①OABODC∽；②90OABODC;③BECE。结论：①AEDE；②2AEDABO（2）任意相似直角三角形360°旋转模型-倍长法条件：①OABODC∽；②90OABODC;③BECE。结论：①AEDE；②2AEDABO模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（将军饮马类）据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再B地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？提起路线最短的问题，大家知道：连结两点之间所有线中，最短的是线段。这个题中马走的是一条折线。这又该怎么办呢？海伦的方法是这样的：设L为河。作AO⊥L交L于O点，延长AO至A’，使AO=A’O，连结A’B交L于C点，则C点即为所求的点。连结AC。（AC+CB）即为最短路程。2015中考数学能力提升专题把生活变成梦想，把梦想变成现实！第8页（2）最短路程模型二（点到直线类1）条件：①OC平分AOB；②M为OB上一定点；③P为OC上一动点；④Q为OB上一动点；求：+MPPQ最小时，PQ，的位置？（3）最短路程模型二（点到直线类2）（4）最短路程模型二（点到直线类3）条件：(04),(20),(0,)ABPn，，问题：n为何值时，55PBPA最小求解方法：①x轴上取(2,0)C，使5sin5OAC；②过B作BDAC，交y轴于点E，即为所求；③1tantan2EBOOAC，即(0,1)E.（5）最短路程模型三（旋转类最值模型）2015中考数学能力提升专题把生活变成梦想，把梦想变成现实！第9页（6）最短路程模型三（动点在圆上）模型八：二倍角模型模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型-基本型2015中考数学能力提升专题把生活变成梦想，把梦想变成现实！第10页（2）相似三角形模型-斜交型（3）相似三角形模型-一线三角型（4）相似三角形模型-圆幂定理型