自动控制原理第七章线性离散系统

第七章线性离散系统7.1离散系统的基本概念7.2采样过程及采用定理7.3信号恢复与信号保持7.4Z变换理论7.5线性离散系统的脉冲传递函数7.6线性离散系统的稳定性与稳态误差7.7动态响应与闭环零、极点分布的关系7.8线性离散系统的数字校正7.9最少拍离散系统的分析与校正连续系统:r(t)、c(t)和e(t)等是时间t的连续函数，这样的系统称为连续系统。计算机广泛应用于控制系统，微机是以数字方式传递和处理信息，控制系统中的信号定义在离散时间上的系统称为离散系统。离散系统与连续系统既有差别，又有相似性。连续系统通过Z变换，可以将连续系统中的概念应用到离散系统。7.1离散系统的基本概念一、信号分类1、模拟信号信号是时间的连续函数；2、离散信号信号是时间上的离散序列；)(*te)(te3、数字信号离散量化信号，是时间上、幅值上的离散序列。7.1.1离散系统的特点(a)连续信号t(b)离散信号t(c)离散量化信号t二、控制系统分类1、连续系统2、采样系统3、计算机控制系统被控对象控制器r(t)e(t)u(t)c(t)测量元件ZOH被控对象脉冲控制器测量元件r(t)e(t)u(t)c(t)e*(t)u*(t)D/A被控对象数字计算机测量元件r(t)e(t)u(t)c(t)e*(t)u*(t)A/D采样周期：一个非常重要、特殊的参数，会影响系统的稳定性、稳态误差、信号恢复精度！三、连续系统与采样控制系统的区别相同点:1、采用反馈控制结构;2、由被控对象、测量元件和控制器组成;3、控制系统的目的相同;4、系统分析的内容相同。不同点：信号的形式（采样器、保持器）。采样控制的优点：精度高、可靠、有效抑制干扰、通用性好。采样开关的工作方式，指采样速度和采样开关的周期性采样之间的相位问题；采样误差信号是通过采样开关对连续信号采样后得到的；采样开关经过一定的时间T闭合一次，采样时间为τ，τT。T为采样周期，ƒs=1/T及ωs=2πƒs分别为采样频率和采样角频率。7.1.2采样开关的工作方式)(te)(te采样的方式周期采样：采样时刻为nT(n=0、1、2…),T为常量；多阶采样：采样时间是周期性重复的；多速采样：用两个具有不同采样周期的采样器对信号同时采样；随机采样：采样时间是随机变量。本章讨论等周期采样•数字计算机作为控制器的控制系统•多点巡回检测与控制系统常见的采样系统采样器（采样开关）：将连续信号变为脉冲序列的装置；采样过程：对连续信号采样后变为时间上离散的脉冲序列的过程；nTnTtt)()(T—采样周期,τ-采样时间τTn—整数7.2.1采样过程7.2采样过程及采用定理采样器)(*tee(t)Tτ时间内,e(t)变化甚微，可近似为宽度为τ,高度为e(nT)的矩形脉冲序列信号采样理想采样序列：0)()(nTnTtt0)()(nnTtte)()()(*tteteT0)()(nnTtnTe采样过程是脉冲调制过程,对采样器的输出拉氏变换0)]()([)](*[)(*nnTtnTeLteLsE由拉氏变换实位移定理0**)()()]([nnTsenTesEteL0)()]([nTsstnTsedtetenTtL采样过程相当脉冲调制过程,采样输出是两个信号的乘积)(tT)(nTe---决定采样信号幅值---决定采样时间为了从采样信号中不失真地复现原连续信号,离散系统设计者必须遵循采样定理;)(22sTm7.2.1采样定理如果(采样角频率)，就不能准确恢复原来的连续信号。ωs≥2ωme(t)就可以从e*(t)中恢复过来,也可表示为若采样器输入信号e(t)带宽有限，且有直到ωm(rad/s)的频率分量，当采样周期T满足下列条件采样定理(香农定理)msT22)()()(*tteteT0)()(nTnTttntjnnTsect)(0)()()(*nnTttete单位脉冲理想响应序列e*(t)对应的离散信号e（t)连续信号以T为周期的复式函数，可展开成傅立叶级数(或指数形式)表示为dttTctjnTTTns221采样信号的频谱（证明）δT(t)=njnntsecωs=2π/T为采样角频率,Cn是傅氏系数,其值为：njn*tse)t(eT1)t(e00nT1dt)t(T1CδT(t)=njntseT1*1()[()]snEjEjnT*1()()snEsEsjnT连续信号的频谱为)j(E采样信号的频谱为)j(E*ωm-ωm0)j(Eωm-ωm0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωs)j(E*T1ωm-ωm0)j(E*T1ωs-ωsωm-ωm0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωs)j(E*T1ωs满足什么条件时才能从恢复出)j(E*)j(E??ωs≥2ωm或：T≤π/ωmωs=2ωm7.2.3采样周期的选择采样周期T选得越小，即采样角频率ωs选得越高，信息获得的越多，控制效果越好;T过短，控制规律复杂，T过长，控制误差大，动态性能降低，甚至导致系统不稳定;采样周期T参考选择；控制过程流量压力液位温度成分采样周期（T)（s)１－３１－５５－１０１０－２０１０－２０T的选取，主要取决于系统的性能指标。频域闭环:闭环频率响应有低通滤波特性．输入频率高于ωr时，信号快速衰减，可认为通过系统的控制信号最高频率分量为ωr。频域开环：近似有ωc＝ωr，频率分量超过ωc的分量通过系统后被大幅度衰减。随动系统的采样角频率近似为ωs=10ωcT=2π/ωs,采样周期公式可表示为时域指标:T可以通过tr，ts选取，按经验公式确定ccsT151022rtT101stT401采样定理信号复现理想滤波器采样开关7.3信号恢复与信号保持T选择得当，e(t)从e*(t)中完全复现。但理想滤波器不存在，只能用保持器代替。保持器将离散信号连续信号的元件采样时，连续信号值与脉冲序列强度相等，nT时刻，有)()()(*nTenTetenTt])1[(])1[()(*)1(TneTneteTnt(n+1)T时刻，有保持器要解决nT与(n+1)T之间(即0△tT)，连续信号e(nT+△t)有多大？它与e(nt)的关系？mT2msT22保持器有外推功能，外推作用即现在时刻的输出取决于过去时刻离散信号的外推,用公式描述mmtatataatnTe)(...)()(2210该式说明现在时刻的输出e(nT+△t)，由过去(m+1)个离散信号e*(nT)、e*(n-1)T、e*(n-2)T、…、e*(n-m)T确定。αi（i=0,1,…,m）为待定系数，由过去(m+1)个e*[(n-i)T]确定，αi有唯一解;△t＝0、－T、－2T、…、－mT为过去时刻。m=0，为零阶保持器；m=1，为一阶保持器；m=m，为m阶保持器。一般采用零阶保持器△t是以nT为坐标原点。主要特点：1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。2、相位滞后。零阶保持器：7.3.1零阶保持器最简单、使用最广泛；采用恒值外推规律，即将前一采样时刻nT的采样值e(nT)不增不减地保持到下一个采样时刻(n+1)T，零阶保持器零阶保持器的单位脉冲响应)(1)(1)(TtttghseTttLsGTsh1)](1)(1[)(2221()()()()jTjTjTjThhheeeeGjGjGjjj由拉氏变换的相似性()()0tLfteFs2/)2/sin()(TTTjGh2)(TjGh零阶保持器的幅频特性注意：2、除了主频谱外，还有高频分量；3、零阶保持器将产生相角滞后，滞后角2)(TjGh1、幅值随角频率ω的增大而衰减，有低通滤波特性；2/)2/sin()(TTTjGh零阶保持器的近似实现21111)11(11)(22sTTssessesGTsTshTsTTsssGh11111)(212121111)(2222sTTsTsTsTTsssGh取前两项取前三项取前三项时无源网络实现形式如图更高阶的近似，使无源网络变得非常复杂。一般不使用！！R1LCR3R2)0(0)()(1)()(3)(4)(ttettrtetete解：)()1()()1()()(1kekeTkekeTketeT])([3])()1([4)()1(2)2(kekekekekeke例7.7已知微分方程：时域数学模型——差分方程)()1(2)2()()1()()(122kekekeTTkeTkeTketeT)(1)(8)1(6)2(kkekeke)0(0)()(1)(8)1(6)2(kkekkekeke将其离散化，用采样控制方式(T=1)，求相应的前向差分方程，并解之。解：差分方程解法一：迭代法)0(0)()(1)(8)1(6)2(kkekkekeke)(1)(8)1(6)2(kkekeke:1k0)(1)1(8)0(6)1(keee:2k1100)0(1)0(8)1(6)2(eee:3k7106)1(1)1(8)2(6)3(eee:4k3511876)2(1)2(8)3(6)4(eee)4(35)3(7)2()(*tttte解．])([8])0()([6])1()0()([0102zEzezEzzezezEz差分方程解法二：z变换法)2)(1(lim)4)(1(lim)4)(2(lim141211zzzzzzzzzzzznznznz1])(1[)()86(2zzkZzEzz)0(0)()(1)(8)1(6)2(kkekkekeke)(1)(8)1(6)2(kkekeke:Z)4)(2)(1()(zzzzzE:1Z1)(Res)(nzzEne642231nn)(642231)()()(00*nTtnTtnTetennnnZ变换是采样函数拉氏变换的变形，又称为采样拉氏变换，是研究线性离散系统的重要数学工具。7.4Z变换理论线性连续系统的性能，用拉氏变换分析，线性离散系统的性能，用Z变换分析。0n)nTt()nT(f)t(*f0nnTse)nT(f)s(*FzeTs令0nnz)nT(f)z(F),t(1)t(f1)nT(f，ate)t(fanTe)nT(f7.4.1Z变换的定义0)()]([)(dtetftfLsFst被定义为采样函数ƒ*(t)的Z变换对Z变换强调两点：1.z是复变量,s也是复变量，分别表示为s=σ＋jωjjTTTsezeeezTezT2.Z变换中，仅采样时刻上的采样值，信息，不反映采样时刻之间的信息，f(t)与ƒ*(t)有相同的Z变换，即Z[f(t)]＝Z[ƒ*(t)]=F(z)该式仅表达采样时刻的已知当1.级数求和法7.4.2Z变换的求法f(t）的离散函数为ƒ*(t),将ƒ*(t)展开0)()()(*nnTtnTftf)()()2()2()()()()0(nTtnTfTtTfTtTftf