分式方程竞赛题

第一讲分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1解方程222111++=011828138xxxxxx解令y＝x2＋2x－8，那么原方程为111++=0915yyyyx去分母得y(y－15x)＋(y＋9x)(y－15x)＋y(y＋9x)＝0，y2－4xy－45x2＝0，(y＋5x)(y－9x)＝0，所以y＝9x或y＝－5x．由y＝9x得x2＋2x－8＝9x，即x2－7x－8＝0，所以x1＝－1，x2＝8；由y＝－5x，得x2＋2x－8＝－5x，即x2＋7x－8＝0，所以x3＝－8，x4＝1．经检验，它们都是原方程的根．例2解方程224727218014xxxxxx＋－＝＋272724xxx－18＝0解设y＝241xxx，则原方程可化为y＋72y－18＝0y2－18y＋72＝0，所以y1＝6或y2＝12．当y＝6时，24=61xxx，x2＋4x＝6x－6，故x2－2x＋6＝0，此方程无实数根．当y＝12时，24=121xxx，x2＋4x＝12x－12，故x2－8x＋12＝0,故x2－8x＋12＝0，所以x1＝2或x2＝6．经检验，x1＝2，x2＝6是原方程的实数根．例3解方程22631042101322xxxxxxxx分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为25231+(3)201322xxxxx，整理得253201232xxxxx，去分母、整理得x＋9＝0，x＝－9．经检验知，x＝－9是原方程的根．例4解方程1625+=2736xxxxxxxx＋．分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为111111112736xxxx，11116723xxxx即11=(6)(7)(2)(3)xxxx，所以(x＋6)(x＋7)＝(x＋2)(x＋3)．解得x＝－92．经检验x＝－92是原方程的根．例5解方程11111+=(1)(1)(9)(10)12xxxxxx＋＋．分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为111111111191012xxxxxx，整理得111111012xx去分母得x2＋9x－22＝0，解得x1＝2，x2＝－11．经检验知，x1＝2，x2＝－11是原方程的根．例6解方程2222232253=232253xxxxxxxx分析与解分式方程如比利式ab＝cd，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为222222(232)(232)(253)(253)=232253xxxxxxxxxxxx，222244=232253xxxxxx，所以x＝0或2x2－3x－2＝2x2＋5x－3．解得x＝0或x＝18．经检验，x＝0或x＝18都是原方程的根．例7解方程222234141=34141xxxxxxxx分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为22222222(341)(341)(41)(41)=(341)(341)(41)(41)xxxxxxxxxxxxxxxx即226222=88xxxx．当x≠0时，解得x＝±1．经检验，x＝±1是原方程的根，且x＝0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．像11xaxa这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有两个根．显然a≠1时，x1＝a与x2＝1a就是所求的根．例如，方程1133xx，即1133xx，所以x1＝3，x2＝13．例8解方程222212219+=116xxxxxxx解将原方程变形为22221123+=+1132xxxxxx，设2211xxyx，则原方程变为3212332yy．解得123y，232y．当2212=13xxx时，352x；当2213=12xxx时，x＝1；经检验x＝1及x＝352均是原方程的根．例9解关于x的方程1+=22axbxbxax．解设y＝axbx，则原方程变为1122yy．所以y1＝2或y2＝12．由=2axbx，得x1＝a－2b；由1=2axbx，得x2＝b－2a．将x1＝a－2b或x2＝b－2a代入分母b＋x，得a－b或2(b－a)，所以，当a≠b时，x1＝a－2b及x2＝b－2a都是原方程的根．当a＝b时，原方程无解．例10如果方程22++=02()xxxaxxxxa只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2－2x＋(a＋4)＝0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△＝4－4·2(a＋4)＝0．解得a＝－72．此时方程①的两个相等的根是x1＝x2＝12．（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．（i）当x＝0时，代入①式得a＋4＝0，即a＝－4．这时方程①的另一个根是x＝1(因为2x2－2x＝0，x(x－1)＝0，x1＝0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．（ii）当x＝2时，代入①式，得2×4－2×2＋(a＋4)＝0，即a＝－8．这时方程①的另一个根是x＝－1(因为2x2－2x－4＝0．(x－2)(x＋1)＝0，所以x1＝2(增根)，x2＝－1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是－72，－4，－8，其对应的原方程的根一次为12，1，－1练习一1．填空：（1）方程111082xx的一个跟是10，则另一个跟是__________．（2）如果方程21=1xbxmaxcm有等值异号的根，那么m＝____________．（3）如果关于x的方程222151+=1kkxxxxx有增根x＝1，则k＝____．（4）方程1110+=113xxxx的根是________．2．解方程3232453+02252xxxxxxxx．3．解方程332222+=211xxxxxxx．4．解方程2332+=+3223xxxx．5．解方程22222245()20()48()111xxxxxx．6．解方程918+=+2716xxxxxxxx．7．m是什么数值时，方程36+=1(1)xmxxxx有根？