高中数学数列易错题与数列求通项九大类型

小小亲清辅导班易错题1.已知nS是数列na的前n项和，且满足21223nnnSanS，其中4,3,2,0nan，又21a，求数列na的通项公式。2.若数列na是等差数列，数列nb满足21nnnnaaab（Nn），nb的前n项和为nS，已知083125aa，试问n为何值时，nS取得最大值？并证明你的结论。3.已知等差数列na的首项1a=1，公差d0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列nb的第2项，第3项，第4项。①求数列na与nb的通项公式；②设数列na对Nn均有20102112211cccabcbcbcnnn求：成立小小亲清辅导班易错题答案1.错解：当2n时，由已知得,22123nnnanSS又01nnnSSa，所以213nSSnn于是212)1(3nSSnn两式相减得，3611nSSnn，即361naann于是9612naann所以两式相减得62nnaa所以,,,531aaa成等差数列，公差为6，,,,,642aaa也成等差数列，公差为6，从而,,,,,,654321aaaaaa成等差数列，公差为6，所以，466)1(2nnan正解：当2n时，由已知得,22123nnnanSS又01nnnSSa，所以213nSSnn于是21)1(3nSSnn，两式相减得：3611nSSnn，即361naann于是9612naann，所以62nnaa，又812212aSS，所以又1523aa，所以73a则kn2时266)1(22kkaaakn23226nn6112312）（时，kaaaknkn23121616nnk的奇数）为大于（为偶数）（）（1232312nnnnnan2.错解：因为083125aa，0576,00556)7(831555daddadaa，所以所以，所以小小亲清辅导班可知na是首项为正数的递减数列。最大．，所以，又０）（即，由161165815760576157600SnNnnndddndaann正解：00161716aan，时，当最大。中故，，即所以且，，又，，所以，而所以161416161516151815181516151514113141817161617161515181716210059056000SSSSbbbbaadadaSSSSSSSaaabaaabaaaaan3.解：①由已知有：1222112353222145233333993122)1(1)0(2)131)(1()41(131411nnnnnnqbqbbbbqababnnaddddddadada所以所以公比，又所以解得：所以，，②错解：1331)31(23222201020102010211111221112211cccbcaabcabcbcbcabcbcbcnnnnnnnnnnnnn所以所以，两式相减得：得由小小亲清辅导班②正解：20102009200920102111121111112211122113)13(3331)31(63)2(32)1(33311)2(322222cccnncccabcnnbcaabcnabcbcbcnabcbcbcnnnnnnnnnnnnnnn所以从而所以即时，又，所以时，两式相减得：时，当得由总结提高1．给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一2．由nS求na时，要分n=1和2n两种情况3．数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最小”等问题十分有效。4．给出nS与na的递推关系，要求na，常用思路是：一是利用nnnaSS1（2n）转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为nS的递推关系，先求出nS与n之间的关系，再求na。小小亲清辅导班数列求通项的九种类型1.形如)(1nfaann型（1）若f(n)为常数,即：daann1,此时数列为等差数列，则na=dna)1(1.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由)(1nfaann得：2n时，)1(1nfaann，)2(21nfaann，)2(23faa)1(12faa所以各式相加得)1()2()2()1(1ffnfnfaan即：111)(nknkfaa.为了书写方便，也可用横式来写：2n时，)1(1nfaann，112211)()()(aaaaaaaannnnn=1)1()2()2()1(affnfnf.例1.已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。小小亲清辅导班例2.已知数列｛an｝满足)2(3,1111naaannn,证明213nna证明：由已知得：故,311nnnaa112211)()()(aaaaaaaannnnn=.213133321nnn213nna.例3．已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.答案：12nn例4．已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.答案：nan12评注：已知aa1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例5、已知数列}{na中,0na且)(21nnnanaS,求数列}{na的通项公式.解:由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS,化简有nSSnn212,由类型(1)有nSSn32212,又11aS得11a,所以2)1(2nnSn,又0na,2)1(2nnsn,则2)1(2)1(2nnnnan此题也可以用数学归纳法来求解.小小亲清辅导班2.形如)(1nfaann型（1）当f(n)为常数，即：qaann1（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，na=11nqa.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由)(1nfaann得2n时，)1(1nfaann，112211aaaaaaaannnnn=f(n)f(n-1)1)1(af.例1.设na是首项为1的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，…），则它的通项公式是na=________.解：已知等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa0na(*Nn)(n+1)01nnnaa,即11nnaann2n时，nnaann11112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1.评注：本题是关于na和1na的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到na与1na的更为明显的关系式，从而求出na.例2.已知1,111annaann,求数列{an}的通项公式.解：因为,11nnaann所以,11nnaann故),1(11nnana又因为11a,即011a，所以由上式可知01na,所以naann111,故由累乘法得小小亲清辅导班)1(11111111111223211aaaaaaaaaannnnn=)1()!1()1(12)2()1(11anann所以na)1()!1(1an-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11nnaann转化为),1(11nnana若令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.3.形如)(1nfaann型（1）若daann1（d为常数），则数列{na}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1nfaann型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11nfnfaann，，分奇偶项来分求通项.例1.数列{na}满足01a,naann21,求数列{an}的通项公式.分析1：构造转化为)(1nfaann型解法1：令nnnab)1(则naaaabbnnnnnnnnnn2)1()()1()1()1(111111.2n时,012)1()2(2)1()1(2)1(112121211abbbnbbnbbnnnnnn各式相加:1)1(2)1()2()1()1()1(2231nnbnnn当n为偶数时，nnnbn22)1()1(2.此时nbann当n为奇数时，1)21(2nnbn此时nnab,所以1nan.故.,,,1为偶数为奇数nnnnan解法2：小小亲清辅导班naann212n时，)1(21naann，两式相减得：211nnaa.,,,,531aaa构成以1a,为首项，以2为公差的等差数列;,,,,642aaa构成以2a,为首项，以2为公差的等差数列22)1(112kdkaakkdkaak2)1(22..,,,1为偶数为奇数nnnnan评注：结果要还原成n的表达式.例2.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3,23,1),3()21(211SSnn且求数列{an}的通项公式.解：方法一：因为),3()21(31112naaaaSSnnnnnnn所以以下同例1，略答案.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数nnannn4.形如)(1nfaann型（1）若paann1(p为常数)，则数列{na}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1nfaann，两式相