高中数学-直线与方程

第三章直线与方程§3．1直线的倾斜角与斜率3．1．1倾斜角与斜率【课时目标】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．1．倾斜角与斜率的概念定义表示或记法倾斜角当直线l与x轴________时，我们取________作为基准，x轴________与直线l________________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°α斜率直线l的倾斜角α(α≠90°)的____________k＝tanα2．倾斜角与斜率的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°α90°α＝____90°α180°斜率(范围)0大于0斜率不存在小于0一、选择题1．对于下列命题①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．42．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为()A．a＝4，b＝0B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3D．a＝－4，b＝33．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α180°时，倾斜角为α－135°4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是()A．[0°，90°]B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°]5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1k2k3B．k3k1k2C．k3k2k1D．k1k3k26．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是()A．mn0B．mn0C．m0，n0D．m0，n0二、填空题7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为________．9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________________________．三、解答题10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．11．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．能力提升12．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，求yx的最大值和最小值．13．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，abc0，则faa，fbb，fcc的大小关系是________________．1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线．3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．第三章直线与方程§3．1直线的倾斜角与斜率3．1．1倾斜角与斜率答案知识梳理1．相交x轴正向向上方向正切值2．90°作业设计1．C[①②③正确．]2．C[由题意，得kAC＝2，kAB＝2，即b－5－1－3＝2，7－5a－3＝2.解得a＝4，b＝－3．]3．D[因为0°≤α180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α180°时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]4．C[倾斜角的取值范围为0°≤α180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．]5．D[由图可知，k10，k20，k30，且l2比l3的倾斜角大．∴k1k3k2．]6．C[由题意知，直线与x轴不垂直，故n≠0．直线方程化为y＝－mnx＋1n，则－mn0，且1n0，即m0，n0．]7．30°或150°33或－338．09．20°≤α200°解析因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)，所以0°≤α－20°180°，解之可得20°≤α200°．10．解αAD＝αBC＝60°，αAB＝αDC＝0°，αAC＝30°，αBD＝120°．kAD＝kBC＝3，kAB＝kCD＝0，kAC＝33，kBD＝－3．11．解设P(x,0)，则kPA＝3－0－1－x＝－3x＋1，kPB＝1－03－x＝13－x，依题意，由光的反射定律得kPA＝－kPB，即3x＋1＝13－x，解得x＝2，即P(2,0)．12．解yx＝y－0x－0其意义表示点(x，y)与原点连线的直线的斜率．点(x，y)满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则点(x，y)在线段AB上，并且A、B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，如图所示．则kOA＝2，kOB＝23．所以得yx的最大值为2，最小值为23．13．fccfbbfaa解析画出函数的草图如图，fxx可视为过原点直线的斜率．3．1．2两条直线平行与垂直的判定【课时目标】1．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2．能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．1．两条直线平行与斜率的关系(1)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔________．(2)如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与________垂直，故l1________l2．2．两条直线垂直与斜率的关系(1)如果直线l1、l2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么l1⊥l2⇔__________．(2)如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2的位置关系是________．一、选择题1．有以下几种说法：(l1、l2不重合)①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2；②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．以上说法中正确的个数是()A．1B．2C．3D．02．以A(－1,1)、B(2，－1)、C(1,4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形3．已知A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值()A．2B．1C．0D．－14．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为()A．1B．0C．0或2D．0或15．若直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2，且l1⊥l2，则有()A．α1－α2＝90°B．α2－α1＝90°C．|α2－α1|＝90°D．α1＋α2＝180°6．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是()A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形D．以上都不对二、填空题7．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为________．8．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________．9．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，3)，B(－2，－23)，则直线l1，l2的位置关系是____________．三、解答题10．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．11．已知△ABC的顶点坐标为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，试求m的值．能力提升12．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________．13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．3．1．2两条直线平行与垂直的判定答案知识梳理1．(1)k1＝k2(2)x轴∥2．(1)k1k2＝－1(2)垂直作业设计1．B[①③正确，②④不正确，l1或l2可能斜率不存在．]2．C[kAB＝－23，kAC＝32，kAC·kAB＝－1，∴AB⊥AC．]3．B[直线AB应与x轴垂直，A、B横坐标相同．]4．D[当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD．]5．C6．B[kAB＝kDC，kAD≠kBC，kAD·kAB＝－1，故构成的图形为直角梯形．]7．－1a或不存在8．2－98解析若l1⊥l2，则k1k2＝－b2＝－1，∴b＝2．若l1∥l2，则k1＝k2，Δ＝9＋8b＝0，∴b＝－98．9．平行或重合解析由题意可知直线l1的斜率k1＝tan60°＝3，直线l2的斜率k2＝－23－3－2－1＝3，因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合．10．解由斜率公式可得kAB＝6－－46－－2＝54，kBC＝6－66－0＝0，kAC＝6－－40－－2＝5．由kBC＝0知直线BC∥x轴，∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，即k1·54＝－1，k2·5＝－1，解得k1＝－45，k2＝－15．∴BC边上的高所在直线斜率不存在；AB边上的高所在直线斜率为－45；AC边上的高所在直线斜率为－15．11．解kAB＝－1－15－1＝－12，kAC＝－1－m5－2＝－m＋13，kBC＝m－12－1＝m－1．若AB⊥AC，则有－12·－m＋13＝－1，所以m＝－7．若AB⊥BC，则有－12·(m－1)＝－1，所以m＝3．若AC⊥BC，则有－m＋13·(m－1)＝－1，所以m＝±2．综上可知，所求m的值为－7，±2,3．12．(－19，－62)解析设A(x，y)，∵AC⊥BH，AB⊥CH，且kBH＝－15，kCH＝－13，∴y－3x＋6＝5，y－1x－2＝3.解得x＝－19，y＝－62.13．解∵四边形ABCD是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB∥CD，AB⊥AD，由图可知：A(2，－1)．(2)AD∥BC，AD⊥AB，kAD＝kBCkAD·kAB＝－1⇒n－2m－2＝3－1n－2m－2·n＋1m－5＝－1∴m＝165n＝－85．综上m＝2n＝－1或m＝165n＝－85．§3．2直线的方程3．2．1直线的点斜式方程【课时目标】1．掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素．2．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．3．了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的点斜式方程和斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率k________________斜率存在斜截式斜率k和在y轴上的截距b________存在斜率2．对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，(1)l1∥l2⇔__