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学习八戒律:学而不思,思而不学,浅尝辄止,浮于表面,逻辑不清,结构混乱,迷茫纠结,因果无感第1页共19页函数的周期性抽象表达式专题入门级:1、一般地,对于函数()fx,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有()()fxTfx+=,那么函数()fx就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。说明:周期函数定义域必是无界的。推广:若)()(bxfaxf+=+,则)(xf是周期函数,ab−是它的一个周期2.若T是周期,则(0,)kTkkZ≠∈也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明:周期函数并非都有最小正周期。如常函数()fxC=;3、对于非零常数A,若函数()yfx=满足(A)()fxfx+=−,则函数()yfx=必有一个周期为2A。证明:(2A)[(A)](A)[()]()fxfxxfxfxfx+=++=−+=−−=∴函数()yfx=的一个周期为2A。4、对于非零常数A,函数()yfx=满足1(A)()fxfx+=,则函数()yfx=的一个周期为2A。证明:1(2)()()()fxAfxAAfxfxA+=++==+。5、对于非零常数A,函数()yfx=满足1()()fxAfx+=−,则函数()yfx=的一个周期为2A。证明:1(2)()()()fxAfxAAfxfxA+=++=−=+。学习八戒律:学而不思,思而不学,浅尝辄止,浮于表面,逻辑不清,结构混乱,迷茫纠结,因果无感第2页共19页6、对于非零常数A,函数()yfx=满足1()()21()Afxfxfx++=−或1()()21()Afxfxfx−+=+则函数()yfx=的一个周期为2A。证明:先看第一个关系式31()32(2)()3221()2AfxAAfxAfxAfx+++=++=−+1()11()1()2()1()1()121()fxAAfxAfxAfxAAfxAfxAfxA++++++−+===−+++−++−−+(2)()fxAfxA+=−+()()fxAfx+=()(2)fxfxA∴=+第二个式子与第一的证明方法相同7、已知函数()fx的定义域为N,且对任意正整数x都有()()()(0)fxfxafxaa=++−≠则函数的一个周期为6a证明:()()()fxfxafxa=++−(1)()()(2)fxafxfxa+=++(2)两式相加得:()(2)fxafxa−=−+()(3)(6)fxfxafxa=−+=+学习八戒律:学而不思,思而不学,浅尝辄止,浮于表面,逻辑不清,结构混乱,迷茫纠结,因果无感第3页共19页进阶级:1:函数()yfx=满足()()faxfax+=−,()()fbxfbx+=−()ab≠,求证:函数()yfx=是周期函数。证明:∵()()faxfax+=−得()(2)fxfax=−()()fbxfbx+=−得()(2)fxfbx=−∴(2)(2)faxfbx−=−∴()(22)fxfbax=−+∴函数()yfx=是周期函数,且22ba−是一个周期。2:函数()yfx=满足()()faxfaxc++−=和()()fbxfbxc++−=()ab≠时,函数()yfx=是周期函数。(函数()yfx=图象有两个对称中心(a,2c)、(b,2c)时,函数()yfx=是周期函数,且对称中心距离的两倍,是函数的一个周期)证明:由()()faxfaxc++−=⇒()(2)fxfaxc+−=()()fbxfbxc++−=⇒()(2)fxfbxc+−=得(2)(2)faxfbx−=−得()(22)fxfbax=−+∴函数()yfx=是以22ba−为周期的函数。3:函数()yfx=有一个对称中心(a,c)和一个对称轴xb=(a≠b)时,该函数也是周期函数,且一个周期是4()ba−。证明:()()2()(2)2faxfaxcfxfaxc++−=⇒+−=()()()(2)fbxfbxfxfbx+=−⇒=−(4())(2(42))fbaxfbabx−+=−−−学习八戒律:学而不思,思而不学,浅尝辄止,浮于表面,逻辑不清,结构混乱,迷茫纠结,因果无感第4页共19页(42)(2(22))2(22)fabxfabaxcfbax−−=−−+=−−+2(2(2))2(2)cfbaxcfax=−−−=−−2(2())22()()ccfxccfxfx=−−=−+=推论:若定义在R上的函数)(xf的图象关于直线ax=和点)0,(b)(ba≠对称,则)(xf是周期函数,)(4ab−是它的一个周期证明:由已知()(2),()(2).fxfaxfxfbx=−=−−()(2)[2(2)][2()][22()][2(2)][22(2)][4()],4().fxfaxfbaxfbaxfabaxfabxfbabxfbaxba∴=−=−−−=−−+=−−−−=−−−=−−+=−+−周期为4:若函数()fx对定义域内的任意x满足:()()fxafxa+=−,则2a为函数()fx的周期。(若()fx满足()()fxafxa+=−则()fx的图象以xa=为图象的对称轴,应注意二者的区别)证明:()()fxafxa−=+()(2)fxfxa∴=+5:已知函数()xfy=对任意实数x,都有()()bxfxaf=++,则()xfy=是以2a为周期的函数证明:()()faxbfx+=−(2)(())()(())()fxafxaabfxabbfxfx+=++=−+=−−=学习八戒律:学而不思,思而不学,浅尝辄止,浮于表面,逻辑不清,结构混乱,迷茫纠结,因果无感第5页共19页相关练习一.选择题1.若函数f(x)满足f(x+3)=﹣f(x),则函数f(x)周期为()A.3B.4C.5D.62.已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,且f(1)>0,则m的取值范围是()A.B.且m≠1C.D.或m<﹣13.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在[0,2)上单调递增,则下列结论正确的是()A.0<f(1)<f(3)B.f(3)<0<f(1)C.f(1)<0<f(3)D.f(3)<f(1)<04.满足f(x+π)=﹣f(x)且为奇函数的函数f(x)可能是()A.cos2xB.sinxC.sinD.cosxE.sin5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x﹣2,则()A.f(﹣)>f()B.f(﹣)<f()C.f()>f()D.f(﹣)<f()6.已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且0<x<时,f(x)=log2x,则f(﹣)+f(﹣2)+f(﹣3)=()A.1B.﹣1C.2D.﹣27.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=﹣f(x),当0≤x≤1时,,学习八戒律:学而不思,思而不学,浅尝辄止,浮于表面,逻辑不清,结构混乱,迷茫纠结,因果无感第6页共19页则使的x的值是()A.2n(n∈Z)B.2n﹣1(n∈Z)C.4n+1(n∈Z)D.4n﹣1(n∈Z)8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)=﹣f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则下列说法正确的是()A.f(3)=1B.函数f(x)在[﹣6,﹣2]上是增函数C.函数f(x)关于直线x=4对称D.若关于x的方程f(x)﹣m=0在[﹣8,8]上所有根之和为﹣8,则一定有m∈(0,1)9.已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2),若函数f(x﹣1)的图象关于直线x=1对称,且f(1)=2,则f(2011)等于()A.2B.3C.4D.610.已知f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2﹣x),当﹣2≤x≤0时,f(x)=2x;若n∈N*,an=f(n),则a2014等于()A.2009B.﹣2009C.D.11.已知函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)、f(x﹣1)都是奇函数,则()A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x+5)是偶函数D.f(x+7)是奇函数二.填空题12.设f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=,则f(2007)=.13.已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x﹣2)=﹣f(x),且在[0,1]的最大值为2,有下列命题:①f(x)的周期为4;学习八戒律:学而不思,思而不学,浅尝辄止,浮于表面,逻辑不清,结构混乱,迷茫纠结,因果无感第7页共19页②f(x)的图象关于直线x=2k+1(k∈Z)对称;③f(x)的图象关于点(2k,0)(k∈Z)对称;④f(x)在R上的最小值是2.其中真命题为.14.定义在R上的函数f(x),对任意x均有f(x)=f(x+2)+f(x﹣2)且f(2013)=2013,则f(2025)=.15.已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(x+6)=0成立.若y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,且f(7)=4,则f(2015)=.三.解答题16.设函数f(x)在R上满足f(3+x)=f(3﹣x),f(8+x)=f(8﹣x),且在闭区间[0,8]上只有f(1)=f(5)=f(7)=0.(1)求证函数f(x)是周期函数;(2)求函数f(x)在闭区间[﹣10,0]上的所有零点;(3)求函数f(x)在闭区间[﹣2012,2012]上的零点个数及所有零点的和.学习八戒律:学而不思,思而不学,浅尝辄止,浮于表面,逻辑不清,结构混乱,迷茫纠结,因果无感第8页共19页17.设f(x)是R上的奇函数,且对∀x∈R都有f(x+2)=﹣f(x),当﹣1≤x≤1时,f(x)=x3,(1)求证:直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴;(2)当x=[1,5]时,求函数f(x)的解析式.18.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(1)求f(0)的值.(2)证明函数f(x)是周期函数.学习八戒律:学而不思,思而不学,浅尝辄止,浮于表面,逻辑不清,结构混乱,迷茫纠结,因果无感第9页共19页参考答案与试题解析一.选择题1.(2010春•白云区校级期中)若函数f(x)满足f(x+3)=﹣f(x),则函数f(x)周期为()A.3B.4C.5D.6【分析】先将f(x+3)=﹣f(x)转化成f(x+6)=﹣f(x+3)=f(x),根据函数的周期性的定义可知该函数的周期.【解答】解:∵f(x+3)=﹣f(x),∴f(x+6)=﹣f(x+3)=f(x)即f(x+6)=f(x)∴函数f(x)的周期是6.故选:D【点评】本题主要考查抽象函数的基本性质,周期性的判定,要求平时学习掌握知识要扎实,灵活,属于基础题.2.(2013•安徽模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,且f(1)>0,则m的取值范围是()A.B.且m≠1C.D.或m<﹣1【分析】根据函数为定义在R上的奇函数,且f(x)的最小正周期为3,运用周期定义把f(2)化为﹣f(1),则m的范围可求.【解答】解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的最小正周期为3,所以f(2)=f(2﹣3)=f(﹣1)=﹣f(1),又因为f(1)>0,所以﹣f(1)<0,即f(2)=,解得:.故选C.【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性的性质,考查了数学转化思想,解答的关键是把f(2)转化为与f(1)有关系的式子.3.(2014•泰安二模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在[0,2)上单调递增,则下列结论正确的是()学习八戒律:学而不思,思而不学,浅尝辄止,浮于表面,逻辑不清,结构混乱,迷茫纠结,因果无感第10页共19页A.0<f(1)<f(3)B.f(3)<0<f(1)C.f(1)<0<f(3)D.f(3)<f(1)<0【分析】由题意可得,f(x+4)=f(x),f(0)=0,函数在区间[0,2]上单调递增,f(3)=f(﹣1+4)=f(﹣1)=﹣f(1),利用函数在区间[﹣2,2]上单调递增可得f(﹣1)<f(0)<f(1),故问题得到解
本文标题:高考冲刺复习-函数的周期性专题(附参考答案)
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