二次曲线中点弦问题求解方法探析

二次曲线中点弦问题求解方法探析1本科学生毕业论文（设计）题目二次曲线中点弦问题求解方法探析姓名张清玉学号104080406院系数学学院专业数学与应用数学指导教师（职称/学历）张绍宗（副教授）2014年4月10日云南师范大学教务处二次曲线中点弦问题求解方法探析2云南师范大学数学学院本科毕业论文（设计）任务书系别：数学学院专业：数学与应用数学班级：10数E班学生姓名：张清玉学号：104080406论文题目：二次曲线中点弦问题求解方法探析一、毕业论文（设计）的目的（一）培养学生综合运用所学知识进行科学研究和独立分析问题、解决问题的能力，培养学生严谨的科学态度，实事求是和认真负责的工作作风。（二）通过撰写毕业论文（设计），进一步深化所学知识，运用正确的研究方法，收集相关资料，进行调查研究，提高写作能力。（三）进一步加深对基础理论的理解，扩大专业知识面，完成教学计划规定的基本理论、基本方法和基本技能的综合训练，力求在收集资料、查阅文献、调查研究、方案设计、外文应用、计算机处理、撰文论证、文字表达等方面加强训练，实现所学知识向能力的转化。（四）鼓励学生勇于探索和大胆创新。二、毕业论文（设计）的要求（一）毕业论文（设计）选题应符合本专业培养目标的要求，具有理论意义和实际价值。（二）毕业论文（设计）有一定的深度和广度，份量适中。（三）毕业论文（设计）的正文内容文题相符，结构合理，层次分明，合乎逻辑;概念准确，语言流畅;论点鲜明,论据充分,自圆其说。（四）毕业论文（设计）应当反映出学生查阅文献、获取信息的能力，综合运用所学知识分析问题与解决问题的能力，研究方案的设计能力，研究方法和手段的运用能力，外语和计算机的应用能力及团结协作能力。（五）毕业论文（设计）书写格式规范，符合《云南师范大学数学学院全日制本科生毕业论文（设计）管理实施细则》的要求。指导教师（签字）：主管院、系领导（签字）：2014年4月10日二次曲线中点弦问题求解方法探析3云南师范大学数学学院本科生论文（设计）任务书一、毕业论文设计目的一.研究意义1.直线与二次曲线相交所得中点弦问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题及高考命题的常用素材和热点问题.2.二次曲线在数学高考中为必考知识点，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程、几何性质以及与直线的位置关系和求轨迹方程等．涉及的数学思想方法主要有:数形结合思想、函数与方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想、整体思想以及配方、换元、构造、待定系数法等数学方法．3.圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题也是近几年来数学高考的一大特点，以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力．4.本文就圆锥曲线的“中点弦”问题中的求中点弦方程、求与中点弦有关的轨迹问题作归纳总结，帮助学生有效解决二次曲线中点弦这一大难题.二、毕业论文设计内容要求1、毕业论文（设计）选题内容应结合实际现状，有据有理，给出充分的参考文献，并在文中加以标注，有研究意义及价值。2、毕业论文（设计）的研究现状应陈述前人已经解决了什么问题，得到了什么结论，尚存在哪些值得研究的问题。3、毕业论文（设计）应具有一定广度和深度，字数适中。4、毕业论文（设计）应给出自己的评述，说明该论文希望解决其中那些未解决的问题，说明已有的基础和本研究的可行性。5毕业论文书写格式规范符合，《云南师范大学数学学院全日制本科毕业生论文（设计）管理实施细则》的要求。指导教师签字：________云南师范大学数学学院本科生毕业论文原创性承诺二次曲线中点弦问题求解方法探析4本人郑重承诺：所呈交的毕业论文(设计),是本人在指导教师的知道下独立研究，撰写论文内容及成果。论文（设计）中引用他人的期刊、图书、资料，均在论文（设计）中加以说明，除此之外，本论文（设计）不含其他个人或集体已经发表过或撰写的成果作品。对本文研究做出重要贡献的个人或集体，均已在文中作了明确说明。本承诺的一切后果由本人承担。毕业论文（设计）作者姓名：____________2014年4月10日二次曲线中点弦问题求解方法探析5二次曲线中点弦问题求解方法探析[摘要]二次曲线中点弦性质及其相关问题是高考的一个重点和难点，通过本文的学习学生要学会适当选取点差法、代入法、几何法、直线参数法、导数法等方法求解二次曲线的中点轨迹，在应对高考的同时掌握系统的数学学习方法并提升数学素养.二次曲线中点弦的问题始终是解析几何的一个主要问题.是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材.要求学习者能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系,并会适当选取代入法、几何法、直线参数法等求解二次曲线的中点轨迹，使解题过程得到优化.同时培养学生直观、严谨的思维品质;灵活运用数形结合、分类讨论、类比归纳等各种数学思想方法,提高解题能力.[关键词]二次曲线中点弦的概念、性质、公式及其相关问题二次曲线中点轨迹的问题类型和解题方法二次曲线中点弦问题求解方法探析6AnalysisofthetwocurvesofmidpointchordofproblemsolvingmethodAbstract：Thetwocurvemidpointchordpropertiesandrelatedproblemisakeyanddifficultpointofcollegeentranceexmination,tolearnpropertrajeactoryatmethod,substitutionmethod,gemometricmethod,linearparametermethod,derivativemethodforsolvingtwoquadraticcurvethroughthelearningofthestudentsinthecollegeentranceexamination,andmasterthemethodsoflearningofthestudentsinthecollegeentranceexmination,andmasterthemethodsoflearningmathematicsandpromotingmathematicsliteracy.Twotimescurvemidpointchordoftheproblemisamajorproblemofanalyticgeometry.Itisfullyreflectedinaverygoodmaterialofalgebraandgeometryinseparablerelationship.Asklearnersfromthenumber,formtwoaspectsdeeppositiontounderstandtherelationshipbetweenthelineandtheline,themidpointlocusandchoosingtheappropriatesubstitutionmethod,geometricmethod,linearparametermethodtosolvethetwocurves,yhesolvingprocesswasoptimized.Atlinearparametermethodtosolvethetwocurves,thesolvingprocesswasthesametimetocultivatesstudents'intuitive,rigorousthinkingquality,flexibleuseofnumeralformcombination,classificationdiscussion,analogyandothermathematicalmethods,improvetheabilityofsolvingproblems.KeyWords：Thetwoconcept,curvemidpointchordproperties,formulaanditsrelatedproblemsTwopointtrajectorycurvetypesofproblemsandproblemsolvingmethods二次曲线中点弦问题求解方法探析7二次曲线中点弦问题求解方法探析二次曲线中点弦的问题始终是解析几何的一个主要问题.是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材.本文从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系,并会适当选取代入法、几何法、直线参数法等求解二次曲线的中点轨迹，使解题过程得到优化.同时培养学生直观、严谨的思维品质;灵活运用数形结合、分类讨论、类比归纳等各种数学思想方法,提高解题能力.并且二次曲线的中点弦问题在高考中多以高档题、压轴题出现,突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，对锻炼学生严密的数学逻辑思维有很大帮助.二次曲线的定义：二次曲线(圆锥曲线)的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当0e1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e1时，轨迹为双曲线；当e=0时，轨迹为圆（ace，当bac,0时）.1.1二次曲线中点弦概念[1]对于给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。其中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不同两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦.1.2二次曲线中点弦公式在解二次曲线中点弦有关问题时，可应用两点的曲线束方程中唯一的直线方程得到一套中点弦公式，这些公式容易导出，且特点明显便于记忆和掌握，应用它解题非常简便.抛物线中点弦公式抛物线C：22xpy上，过给定点=Pa（,）的中点弦所在直线方程为：2pyaxpa中点弦存在的条件：22pa（点P在抛物线开口内）.二次曲线中点弦问题求解方法探析8椭圆中点弦公式椭圆C：22221xyab上，过给定点P=(a,β)的中点弦所在直线方程为：222222aaxyabab.中点弦存在的条件：2222a1ab（点P在椭圆内）.双曲线中点弦公式双曲线C：2222-1xyab上，过给定点P=(a,β)的中点弦所在直线方程为：222222aa--xyabab中点弦存在的条件：22222222aa---abab（）(1)0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内.）1.3二次曲线中点弦性质[2]性质1椭圆、双曲线22221(0,0)xyabab的过定点（m,0）(m0,且ma)的一条弦两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨迹是直线2axm.性质2抛物线22(0)ypxp的过定点（m,0）(m0)的一条弦的一端点和抛物线顶点的连线与过另一端点且平行于抛物线对称轴的直线的交点的轨迹是直线x=-m.2.归纳求解二次曲线中点轨迹的类型和方法2.1求解二次曲线中点轨迹的类型如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切（如下图）.此时等比例缩小图形的曲线方程如二次曲线中点弦问题求解方法探析92222222()()(),1,()()xyxaybtrtatb两边对x求导，可发现并不改变原方程求导的结果.因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是'xy在中点处的值.2.1.1求中点弦所在直线方程问题例1过椭圆141622yx内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222kxkkxk又设直线与椭圆的交点为A(11,yx)，B（22,yx），则21,xx是方程的两个根，于是14)2(82221kkkxx，又M为AB的中点，所以214)2(422221kkkxx，解得21k，故所求直线方程为042yx.解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,yx)，B（22,yx），M（2，1