函数的奇偶性和周期性讲义

中学1对1课外辅导专家成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践1学科培训师辅导讲义学员编号年级高一课时数2学员姓名辅导科目数学学科培训师周老师课题函数的基本性质—奇偶性和周期性备课时间2014年08月27日授课时间2014年08月28日教学内容（一）主要知识：1．奇函数：如果对于函数()yfx的定义域D内任意一个x，都有xD，且()()fxfx，那么函数()fx就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()ygx的定义域D内任意一个x，都有xD，都有()()gxgx，那么函数()gx就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()fx是偶函数()fx的图象关于y轴对称；()fx是奇函数()fx的图象关于原点对称；⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．⑷()fx为偶函数()()(||)fxfxfx．⑸若奇函数()fx的定义域包含0，则(0)0f．5．函数的周期性：(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．三条结论：(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期中学1对1课外辅导专家成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践2函数．(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝f(x1）或f(x＋a)＝－f(x1），那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.（二）主要方法：1．判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()fxfx或()()fxfx是否定义域上的恒等式；⑵图象法；⑶性质法：①设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域12DDD上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0fxfx，()1()fxfx．（三）典例分析1．下列函数中，在其定义域内即是奇函数又是减函数的是（）A．3fxxxRB．sinfxxxRC．fxxxRD．12xfxxR2．若函数(1)()yxxa为偶函数，则a=（）A．2B．1C．1D．23．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f（-25）＝()．A.－21B.－41C.41D.21解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f（-25）＝－f（25）＝－f（21）＝－21.故选A.答案A4．f(x)＝x1－x的图象关于()．A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝－x1－(－x)＝－－x1＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．答案C中学1对1课外辅导专家成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践35．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()．A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶，B错；C项与D项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.答案A6．对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是()．A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2解析：∵f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c且c∈Z，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数，只有D项中两数和为奇数，故不可能是D.答案D7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析：法一∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.法二由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|，得a＝0.答案08．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2013)＋f(2015)的值为()．A．－1B．1C．0D．无法计算解析由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2013)＝f(1)，f(2015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2013)＋f(2015)＝0.答案C中学1对1课外辅导专家成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践49．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()．A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)[尝试解答]由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.答案D10．判断下列函数的奇偶性：（1）111xfxxx（定义域不关于原点对称，非奇非偶）（2）2lg122xfxx解：定义域为：2101,00,1220xx所以22lg1lg122xxfxxx，是奇函数。（3）2200xxxfxxxx解法一：当0x，0x，22fxxxxxfx当0x，0x，22fxxxxxfx所以，对,00,x，都有fxfx，所以fx是偶函数解法二：画出函数图象解法三：fx还可写成2fxxx，故为偶函数。（4）2233fxxx解：定义域为3,3x，对3,3x，都有fxfxfx，所以既奇又偶变式训练：判断函数22fxxxa的奇偶性。解：当0a时，fx是偶函数当0a时，222,22faafaaa，即fafa，且2217222022fafaaaa，所以非奇非偶小结与拓展：几个常见的奇函数：（1）2121xxy（2）11212xy（3）1lg1xyx（4）2lg1yxx中学1对1课外辅导专家成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践5小结与拓展：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件11．已知定义在,上的函数yfx，当0,x时，12xfxx（1）若函数yfx是奇函数，当,0x时，求函数yfx的解析式；（2）若函数yfx是偶函数，当,0x时，求函数yfx的解析式；解：（1）112xfxx（2）112xfxx变式训练：已知奇函数fx，当0x时，51fxxx，求函数fx在R上的解析式；解：函数fx是定义在R上的奇函数，00,ffxfx，当0x时，0x，51fxxx510fxfxxxx，51000510xxxfxxxxx小结与拓展：奇偶性在求函数解析式上的应用12．设函数)(xf是定义在R上的奇函数，对于,xR都有3322fxfx成立。（1）证明)(xf是周期函数，并指出周期；（2）若(1)2f，求(2)3ff的值。证明：（1）33,22fxfxfxfx3333(3)2222fxfxfxfxfx所以，)(xf是周期函数，且3T（2）00,(1)2,3ffT，(1)12ff(2)3102ffff变式训练1：设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于()A.0.5B.5.0C.1.5D.5.1变式训练2：（06安徽）函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff__________。解：由12fxfx得14()2fxfxfx，所以(5)(1)5ff，则115(5)(1)(12)5fffff。小结与拓展：只需证明fxTfx，即fx是以T为周期的周期函数中学1对1课外辅导专家成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践6课后作业1、判断下列函数的奇偶性：（1）1()(1)1xfxxx(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.2、⑴若()fx是定义在R上的奇函数，则(0)f=__________；⑵若()fx是定义在R上的奇函数，(3)2f，且对一切实数x都有(4)()fxfx，则(25)f=__________；⑶设函数()yfx(Rx且0x）对任意非零实数12,xx满足1212()()()fxxfxfx，则函数()yfx是___________（指明函数的奇偶性）3、设()fx是R上的奇函数，且当[0,)x时，3()(1)fxxx，那么当(,0)x时，()fx=_________．4、()yfx图象关于1x对称，当1x≤时，2()1fxx，求当1x时()fx的表达式．5、设函数322||2()2||xxxxfxxx的最大值为M，最小值为m，则M与m满足（）．A．2MmB．4MmC．2MmD．4Mm6、函数22()||axfxxaa为奇函数，则a的取值范围是（）．中学1对1课外辅导专家成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践7A．10a≤或01a≤B．1a≤或1a