高三复习精品教案数列求和的方法总结

高中数学教学与辅导1(9)【高三复习教案】数列的求和方法（一）知识归纳：1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.5．反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，…，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.（二）学习要：1．“数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理信纸，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中.在上面提到的方法中，“拆项”、“并项”、“裂项”方法使用率比较高，“拆项”的典型例子是数列“)1(3221nnSn”的求和；“裂项”的典型例子是数列“)1(1321211nnSn”的求和；“并项”的典型例子是数列“nSnn1)1(654321”的求和.2．“错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法，使用率不高，其中“错位”求和方法一般只要求解决下述数列的求和问题：若}{na是等差数列，{nb}是等比数列，则数列{nnba}的求和运用错位求和方法.[例1]解答下述问题：（I）已知数列}{na的通项公式)12)(12()2(2nnnan，求它的前n项和.[解析],1212nnnnan),1212()121321()5232()311(nnnnnnnnSn=1212)12121()5352()3231(1nnnnnnnnn=12)1(2nnn高中数学教学与辅导2(9)（II）已知数列}{na的通项公式,)]1([122nnnan求它的前n项和.[解析],)1(11)1()1(222222nnnnnnan.)1(11))1(11()1)1(1()3121()211(22222222nnnnnSn（III）求和：;1)2(3)1(21nnnnSn[解析]注意：数列的第n项“n·1”不是数列的通项公式，记这个数列为}{na，∴其通项公式是.6)2)(1(2)1(6)12)(1(2)1()321()321()321(),,,3,2,1()]1([222222nnnnnnnnnnnnnnSnkkkknknkank（Ⅳ）已知数列.}{,)109()1(nnnnSnana项和的前求[解析]nnnbna)109(,1为等差数列为等比数列，∴应运用错位求和方法：.)109()10(999),10()109(1099)109()1(])109(1[108159)109()1(])109()109()109[(59101:,)109()1()109(3)109(2109;)109()1()109(31092111321322nnnnnnnnnnnnnSnnnSnSnS两式相减得（Ⅴ）求和nnnnnnCnCCCCW)13(10743210[解析],,13110nnnaaaana为等差数列而,knnknCC运用反序求和方法是比较好的想法，高中数学教学与辅导3(9)nnnnnnnCnCnCCCW)13()23(741210①，01214)53()23()13(nnnnnnnnCCCnCnCn012104)53()23()13(nnnnnnCCCnCnCnW②，①+②得,2)23())(23(2210nnnnnnnCCCCnW.2)23(1nnW[评析]例1讨论了数列求和的各种方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然后选定一种求和方法，并作出相应的变换.[例2]解答下列问题：（I）设),3(9)(2xxxf（1）求)(xf的反函数);(1xf（2）若;),2(),(,1111nnnunufuu求（3）若;}{,,3,2,1,11nnkkkSnakuua项和的前求数列[解析]（1）9)(21xxf（2）}{),2(9122121nnnunuuu是公差为9的等差数列，,89,0,892kuununnn（3）),8919(9119891kkkkak);119(91)]8919()1019()110[(91nnnSn（II）设函数),2)(1(,1:}{,332)(11nbfbbbxxxfnnn作数列求和：.)1(11433221nnnnbbbbbbbbW高中数学教学与辅导4(9)[解析]),384(91,312,32211nnbbnbbbnnnnn①当n为偶数时]})1[()43()21{(94222222nnWn298)]12(1173[94]})1[()43()21{(98nnnn=);62(9194)]22(2[21942nnnnn②当n为奇数时}])1()2[()21{(9422222nnnWn).762(91312198]22121[9431]21[98})]32(1173[{9431})]1()2[()43()21{(98222nnnnnnnnnnnnn[解析]例2中的（I）、（II）两题是以数列求和为主要内容的数列综合试题，需要熟练运用求和方法，问题（I）中运用了“裂项”求和方法，而问题（II）中灵活运用了拆项与并项的求和方法.[例3]已知数列}{na的各项为正数，其前n项和2)21(nnnaSS满足，（I）求)2(1naann与之间的关系式，并求}{na的通项公式；（II）求证.211121nSSS[解析]（I）2)1(4nnaS①，而211)1(4nnaS②，①—②得,0)2)((0)(2111212nnnnnnnnaaaaaaaa2}{),2(2,01danaaannnn是公差的等差数列，;12,1)1(41211naaaan而（II）22221212111111,nSSSnSnn高中数学教学与辅导5(9).212)111()3121()211(1111),2(111)1(11212nnnSSSnnnnnnn[评析]例3是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，∴作出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.《训练题》一、选择题1．在数列}{na中，9,11nnSnnna项和若其前，则项数n为（）A．9B．10C．99D．1002．数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n－1），…的前n项和等于（）A．nn12B．221nnC．12nnD．22nn3．设5033171,)1(4321SSSnSnn则=（）A．－1B．0C．1D．24．数列1，项和为的前nn3211,,3211,211（）高中数学教学与辅导6(9)A．1nnB．12nnC．)1(2nnD．)1(4nn5．数列{na}的前n项和22221,12nnnaaaS则（）A．2)12(nB．)12(31nC．14nD．)14(31n6．数列{na}的通项公式为,,1421naaabnannn令则数列{nb}的前n项和为（）A．2nB．)2(nnC．)1(nnD．)12(nn二、填空题7．数列,3216,1615,814,413,212,1的前10项之和为8．若nnn则,2219)2(42)12(312222229．已知{na}的前n项和||||||,1410212aaannSn则的值为10．已知数列{na}的通项公式是nnnan则前,6512项和为三、解答题：11．已知数列{na}的各项分别为}{,,,,,165434322naaaaaaaaaa求的前n项和nS.12．已知数列{na}满足：}{,2)32()12(3121nnnbnanaa数列的前n项和nnnnWnbannS项和的前求数列}{.222.13．设数列{na}中，}{),(321nnaNnna将中5的倍数的项依次记为,,,321bbb，（I）求4321,,,bbbb的值.（II）用k表示kkbb212与，并说明理由.（III）求和：.212321nnbbbbb高中数学教学与辅导7(9)14．数列{na}的前n项和为nS，且满足,)1(2,11nnanSa（I）求na与1na的关系式，并求{na}的通项公式；（II）求和.111111212322nnaaaW15．将等差数列{na}的所有项依次排列，并如下分组：（1a），（32,aa），（7654,,,aaaa），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有12n项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0，（I）求数列{na}的通项公式；（II）求数列{Tn}的通项公式；（III）设数列{Tn}的前n项和为Sn，求S8的值.《答案与解析》一、1．C2．B3．C4．B5．D6．B二、7．512511558．109．6710．)3(3nn11．,221nnnnaaaa（1）;2)1(,1nnSnaann时当（2）当,11)1(11211aaaaaaaannnnn时)],()1[(1112312nnnaaaaaaaS①];1)1(11[11,122aaaaaaSannn时当②当1a时，1）当n为奇数时;21nSn高中数学教学与辅导8(9)2）当n为偶数时.2nSn12．当),12(22)52(2)32()12(,21nnnannnnnn时;14,2.4)2(2,4;2111nSSbnanaaannnnnnn时当得而而.)2(141,111nnbbbn得)14(215211272)],14(211272[443232nsnWnnn记)14(2)54(2112722143nnsnn②，①－②得)14(2)222(428143nsnn).54(2),54(24),45(24)14(2)12(322811112nWnsnnnnnnnn得13．（I）;55,45,15,10104935241abababab（II）),(515),(52)1(