双等边三角形概要

双等边三角形如图，C为线段AB上一动点（不与点A，B重合），在AB同侧分别作正三角形ABD和正三角形CBE，AE与BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与CE交于点N，连结MN．以下五个结论：①三对全等三角形（内含丰富的等量关系）：△ACE≌△DCB；△ACM≌△DCE；△MCE≌△NCB②△MCN是等边三角形；③MN∥AB；④∠AOD=60°；⑤AO=DO+CO；⑥OC平分∠AOB；⑦BCACMN111；⑧ABMN411；⑨若P、Q分别为AE、BD的中点，则△CPQ是等边三角形；如图A是CD上一点，ABC、ADE都是正三角形，求证CE=BD题2：如图，ABD、ACE都是正三角形，求证CD=BE题3：如图，分别以ABC的边AB、AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE、BG，求证BG=CE题4：如图，有公共顶点的两个正方形ABCD、BEFG，连接AG、EC，求证AG=ECQPONMEDBCAABCDEMN题5：如图，P是正方形ABCD内一点，ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP’重合，若PB=3，求PP’如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,CE与BD相交于点M,BD交AC于点N，证明:（1）BD=CE.（2）BD⊥CE.(3)当△ABC绕A点沿顺时针方向旋转如下图（1）（2）（3）位置时，上述结论是否成立？请选择其中的一个图加以说明.证明：(1)△BAD≌△CAE,得BD=CE.………………(4分)(2)∠CMN=180°-∠NCM-∠MNC=180°-∠ABD-∠ANB=∠BAN=90°∴BD⊥CE.………………(7分)(3)结论仍成立,证法同上.………………(8分)证明过程完整图(1)图(2)图(3)ABECDABECDABECD题目如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P679题）解∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∠BAD=60．同理AE=AC，∠EAC=60．∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60就得到△CAD，∴△ABE≌△ADC，从而BE=DC．另法∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60，于是∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠EAC=∠EAB．从而有△CAD≌△EAB，∴DC=BE．点评由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．演变变式1如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的？说明理由．（人教课本P805题）说明：如上题图，去掉BC，把D，A，E放在一直线上即得．本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变．（1）△ABC与△CDE在BC的异侧．（2）点C在BD的延长线上．（3）C点在BD外．（4）△ACD与△BDE在BD的异侧，且D点在BC的延长线上．（5）△ABC与△CDE都改为顶角相等的等腰三角形，即AB=AC，CE=DE，∠BAC=∠CED．BCDAECBAEDACBEDCABEDCBAEDACBEDCBAEDBCDAFEG变式2如图，四边形ABCD，ACFG都是正方形，则BG与CE有什么关系？说明理由．变式3如图，△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，则BE与DC有什么关系？（2011广东河源）如图9,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之生取最小值时，AP=___________；（直接写结果）（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；（3）如图10，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）（2010广西桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________．ABCDPEFG【答案】3(2007年黄冈市)如图，分别以RtABC的直角边AC，BC为边，在RtABC外作两个等边三角形ACE和BCF，连结BE，AF.求证：BE=AF.BCAED.(08广东东莞/中山/汕头市)21.（本题满分9分）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.解：（1）如图7.∵△BOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°,……1分∴∠4=∠5.又∵∠4+∠5=∠2=60°,∴∠4=30°.…………………………2分同理，∠6=30°.…………………………3分∵∠AEB=∠4+∠6,∴∠AEB=60°.………………………4分ABCEEFCBOD图7ABAODCE图8图88765421EODCBA3QPOBEDCA（2）如图8.∵△BOC和△ABO都是等边三角形，∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°，………5分又∵OD=OA,∴OD＝OB，OA＝OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7.…………………6分∵∠DOB=∠1+∠3,∠AOC=∠2+∠3,∴∠DOB=∠AOC.…………………………………7分∵∠4+∠5+∠DOB=180°,∠6+∠7+∠AOC=180°,∴2∠5=2∠6,∴∠5=∠6.………………………………………………8分又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，∴∠AEB＝60°.…………………………………………9分（08山东滨州）17．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．（1）（2）（3）（5）（2008，滨州）如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。ABCEDOPQ（2008，广东汕头）如图6，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图7，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转某一个角（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小。（2007，湖北武汉）填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。CBOD图6ABAODCE图7AAABBBCCCDDDEEEFFF图①图②图③(第24题图)AABBCCDDEEFF图④(第24题图)图⑤（2008，湖北襄樊）如图12，BCE，，是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BGDE，．（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论；（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由．（2008，怀化）如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）CGAE；（2）.MNCNDNAN（2008，浙江义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．QPOBEDCA（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BEDG的值．（2008，滨州）如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。（深圳3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为A.3:1B.2:1C.5:3D.不确定【答案】A。【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】连接AO，DO。设等边△ABC的边长为a，等边△ABC的边长为b。∵O为BC、EF的中点，∴AO、DO是BC、EF的中垂线。∴∠AOC=∠DOC=900，∴∠AOD=1800—∠COE。又∵∠BOE=1800—∠COE，∴∠AOD=∠BOE。又由AO、DO是BC、EF的中垂线，得OB=12a，OE=12b，OA=32a，OD=32b。从而33OAODOAOD223,3,AODBOE11OBOEOBOE22abab。∽。∴AD：BE=3:1。故选A。（河源9分）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=___________；（直接写结果）（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）【答案】解：(1)a。（2）α的大小不随点P的移动而变化。理由如下：设AD与CP相交于点S。在△APD和△CPB中，∵AP=CP，∠APD=∠CPD+600=∠CPB，DP=BP，∴△APD≌△CPB（SAS）。∴∠PAD=∠PCB