(新教材)【人教B版】20版必修一2.1.3(数学)

2.1.3方程组的解集1.二元一次方程组(1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.(2)加减法：对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加(减)消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.【思考】(1)解方程组的基本思路是什么？提示：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.(2)解方程组消元时，直接把原式代入进行消元？直接把原式相加进行消元吗？提示：解方程组时常用的消元方法有代入消元法和加减消元法；代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元.2.三元一次方程组(1)定义：含有三个不同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.(2)解三元一次方程组的常用方法：解三元一次方程组和二元一次方程组的方法一样，主要用代入消元法和加减消元法.【思考】解三元一次方程组的基本思想和注意问题有哪些？提示：解三元一次方程组的基本思想是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程.解三元一次方程组时要特别注意：①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确.3.二元二次方程组(1)含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.(2)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，叫做二元二次方程组.【思考】解二元二次方程组的基本思路是什么？提示：解二元二次方程组的关键是“消元”、“降次”；消元时的方法主要还是代入消元法和加减消元法.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)方程1+=-2是一元一次方程.()(2)是方程组的解.()1xx2y3z3＝，＝，＝xy2z52xyz42xy3z10,＋＝，＋＝，＋＝(3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少.()提示：(1)×.方程1+=-2是分式方程，不是一元一次方程.(2)√.经代入验证，知是方程组的解.1xx2y3z3＝，＝，＝xy2z52xyz42xy3z10＋＝，＋＝，＋＝(3)×.解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法.2.已知是方程2x-ay=3的一个解，那么a的值是()A.1B.3C.-3D.-1x1y1＝，＝【解析】选A.将代入方程2x-ay=3，得2+a=3，所以a=1.x1y1＝，＝3.用“加减法”将方程组中的x消去后得到的方程是()A.y=8B.7y=10C.-7y=8D.-7y=102x3y9,2x4y1,①②【解析】选D.①-②后得：-7y=10.类型一二元一次方程组【典例】1.已知是二元一次方程组的解，则a-b的值为()A.1B.-1C.2D.3x2y1＝，＝axby7axby1＋＝，＝2.求方程组的解集.xy122xy20①②【思维·引】1.把代入求出a，b的值，再计算a-b.2.解方程组的常用方法为代入消元法和加减消元法，选择其中一种，消元，求解.x2y1＝，＝axby7axby1＋＝，＝【解析】1.选B.把解代入原方程组得解得所以a-b=-1.2ab72ab1＋＝，＝，a2b3＝，＝，2.方法一(代入法)：由①得：y=12-x，③将③代入②得：2x+12-x=20，解这个一元一次方程，得x=8，将x=8代入③，得y=4，所以原方程组的解集是{(8，4)}.方法二(加减法)：②-①得x=8，代入①得y=4，所以原方程组的解集是{(8，4)}.【内化·悟】解方程组时，怎样选择消元的方法？提示：根据原题的形式，适当选择消元的方法.如果原题中有一个方程的某一未知数系数为1，可以选择代入消元法；若原题中将方程适当加减后能消元，则选择加减消元法.【类题·通】1.用代入法解二元一次方程组的一般步骤(1)当方程组中的未知数系数不是1(或-1)时，常选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示这个未知数.(2)代入时要注意加括号.(3)为了检查解答是否正确，可把所得解代入未变形的方程进行口算检验，不必写检验过程.2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：(1)将其中一个未知数的系数化为相同(或互为相反数)；(2)通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程，求得另一个未知数的值；(5)写出方程组的解；(6)检验，但不必写出检验过程.【习练·破】解方程组(1)7x3y1,2xy1.①②2x5y7,22x3y1.①②【解析】(1)由②得，y=2x-1代入①得7x-3(2x-1)=1，所以x=-2代入①得y=-5，所以原方程组的解集是{(-2，-5)}.(2)②-①得：8y=-8，y=-1，把y=-1代入①，得2x-5×(-1)=7，解得x=1，所以原方程组的解集是{(1，-1)}.类型二三元一次方程组【典例】1.三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是()5x4yz0,3xy4z11,xyz2,①②③4x3y2,4x3y2,A.B.7x5y323x17y113x4y2,3x4y2,C.D.7x5y323x17y112.求三元一次方程组的解集.世纪金榜导学号3x4z7,2x3yz9,5x9y7z8.①②③【思维·引】1.①与③相减，消去z；①乘以4加②，也可以消去z.2.此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理.反之用代入法运算较烦琐.【解析】1.选B.第一个方程减去第三个方程得4x+3y=2，再将第一个方程乘以4加上第二个方程得23x+17y=11.2.②×3+③，得11x+10z=35.①与④组成方程组解得把x=5，z=-2代入②，得y=.所以原方程组的解集是3x4z7,11x10z35,x5,z2,1{(5,,2)}.313【内化·悟】解三元一次方程组怎样消元？提示：解三元一次方程组的关键还是消元，我们要适当选择代入消元法和加减消元法，逐步将“三元”化“二元”，再将“二元”化“一元”，进而求解.【类题·通】解三元一次方程组的基本步骤(1)观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；(2)利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；(3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值；(4)将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；(5)写出三元一次方程组的解.【习练·破】1.已知x+2y+3z=54，3x+2y+2z=47，2x+2y+z=31，那么代数式x+y+z的值是().A.17B.22C.32D.132【解析】选B.将三个三元一次方程组成方程组，整体求法，将三个式子相加，得6x+6y+6z=132，两边都除以6，解，得x+y+z=22.x2y3z543x2y2z472x2yz31.＋＋＝，＋＋＝，＋＋＝2.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值.【解析】由题意得三元一次方程组②-①，得a+b=1，④③-①，得4a+b=10.⑤④与⑤组成二元一次方程组abc0,4a2bc3,25a5bc60.①②③ab1,4ab10.解得把a=3，b=-2代入①，得c=-5.因此a3,b2,c5.a3,b2,类型三二元二次方程组【典例】1.方程组的解集为______.2.解方程组世纪金榜导学号222xy0,1xy30,22222xy5xy,1xxyy432（）【思维·引】1.由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过(1)得y=2x再代入(2)可以求出x的值，从而得到方程组的解.2.注意到方程x2-y2=5(x+y)，可分解成(x+y)(x-y-5)=0，即得x+y=0或x-y-5=0，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程.【解析】1.由(1)得：y=2x(3)，将(3)代入(2)得：x2-(2x)2+3=0，解得x1=1或x2=-1，把x=1代入(3)得：y=2；把x=-1代入(3)得：y=-2.所以原方程组的解集是{(1，2)，(-1，-2)}.答案：{(1，2)，(-1，-2)}2.由(1)得(x+y)(x-y)-5(x+y)=0⇒(x+y)(x-y-5)=0，所以x+y=0或x-y-5=0，所以原方程组可化为两个方程组：2222xy50,xy0,xxyy43xxyy43或用代入法解这两个方程组，所以原方程组的解集是{(-1，-6)，(6，1)，(，-)，(-，)}.43434343【内化·悟】求解二元二次方程组的关键是什么？提示：根据题干条件将原方程组化成最简形式，消元求解.【类题·通】1.解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：(1)由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(*)；(2)把方程(*)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；(3)解消元后得到的一元二次方程；(4)把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(*)，求相应的未知数的值.2.两个注意点(1)消x还是消y，应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如x-2y+1=0，可以消去x，变形得x=2y-1，再代入消元.(2)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根.3.由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程.【习练·破】求方程组的解集.22x4y40,x2y20.①②【解析】第二个方程可变形为x=2y+2③，将其代入到第一个方程，整理得8y2+8y=0，即y(y+1)=0，解得y1=0，y2=-1.把y1=0代入③，得x1=2；把y2=-1代入③，得x2=0.所以原方程组的解是所以原方程组的解集是{(2，0)，(0，-1)}.1212x2,x0,y0,y1,【加练·固】求方程组的解集.22xxy12,1xyy42【解析】(1)-(2)×3得：x2+xy-3(xy+y2)=0即x2-2xy-3y2=0⇒(x-3y)(x+y)=0，所以x-3y=0或x+y=0，所以原方程组可化为两个方程组：用代入法解这两个方程组，所以原方程组的解集是{(3，1)，(-3，-1)}.22x3y0,xy0,xyy4,xyy4,