文科概率大题(几何概率、古典概型)

1几何概型题组一与长度有关的几何概型1.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.110B.19C.111D.182．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为()A.116B.18C.14D.123．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．题组二与面积(或体积)有关的几何概型4.(2009·辽宁高考)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.π4B．1－π4C.π8D．1－π85．设－1≤a≤1，－1≤b≤1，则关于x的方程x2＋ax＋b2＝0有实根的概率是()A.12B.14C.18D.1166．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为()A.13B.23C.19D.297．在区域x＋y－2≤0，x－y＋2≥0，y≥0内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为()A.π2B.π8C.π6D.π48．(2010·济南模拟)在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.2(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．题组三生活中的几何概型10.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()11．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．A.14B.13C.12D.2312．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．答案31解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A，试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)＝110.答案：A2解析：正方形的面积介于36cm2与81cm2之间，所以正方形的边长介于6cm到9cm之间．线段AB的长度为12cm，则所求概率为9－612＝14.答案：C3解析：60×(1－910)＝6分钟．答案：64解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O的距离小于等于1时，其是以O为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么满足条件的概率为：1－12π2＝1－π4.答案：B5解析：由题知该方程有实根满足条件－1≤a≤1，－1≤b≤1，a2－4b2≥0，作平面区域如右图：由图知阴影面积为1，总的事件对应面积为正方形的面积，故概率为14.答案：B6解析：作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出Ω所表示的平面区域为三角形AOB及其边界，A表示的区域为三角形OCD及其边界．容易求得D(4,2)恰为直线x＝4，x－2y＝0，x＋y＝6三线的交点．则可得S△AOB＝12×6×6＝18，S△OCD＝12×4×2＝4.所以点P落在区域A的概率为418＝29.答案：D7解析：区域为△ABC内部(含边界)，则概率为4P＝S半圆S△ABC＝π212×22×2＝π4.答案：D8解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC相交出三个扇形(如图所示)，当P落在阴影部分时符合要求．∴P＝3×(12×π3×12)34×22＝3π6.答案：36π9解：(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a，b的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A，当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a＞b.当a＞b时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件数为6，∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率P(A)＝612＝12.(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6.设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，a＜b}，即图中阴影部分的梯形，其面积SM＝6－12×2×2＝4.5由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)＝0没有实根的概率P(B)＝SMSΩ＝46＝23.11．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．10解析：平面被这一组平行线分割成条状区域，现对两条平行线之间的区域考虑：平行线间的距离为3cm，硬币半径为1cm，要想硬币不与两条平行线相碰，硬币中心与两条平行线的距离都应大于1cm，如图：硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时，才能让硬币与两条平行线都不相碰，则硬币中心落在阴影部分的概率为13.整个平面由无数个这样的条状区域组成，故所求概率是13.答案：B11解析：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝π×124×4＝π16.答案：π1612解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得：P(A)＝242－12×222－12×202242＝67288.故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是67288.6古典概率模型的综合运用概率11、某学校课题小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀．（1）根据上表完成下面的22列联表（单位：人）：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀物理成绩不优秀合计20（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率．参考数据：则随机变量22nadbcKabcdacbd，其中nabcd为样本容量；独立检验随机变量2K的临界值参考表：2PKok0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001ok0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828序号1234567891011121314151617181920数学成绩9575809492656784987167936478779057837283物理成绩90637287917158829381778248856991618478867i=i+1S=S+mi×fi输入mi,fi开始否结束输出Si=7？i＝1S＝0是9080706050403020(单位:mg/100ml)0.0250.0200.0150.010频率/组距酒精含量0.00502、“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60图甲名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S值，并说明S的统计意义；（图乙中数据im与if分别表示图图乙甲中各组的组中值及频率）（3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mgml（含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mgml（含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．83、汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对2CO排放量超过130g/km的M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行2CO排放量检测，记录如下(单位：g/km).甲80110120140150乙100120xy160经测算发现，乙品牌车2CO排放量的平均值为120x乙g/km．（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合2CO排放量的概率是多少？（Ⅱ）若90130x，试比较甲、乙两类品牌车2CO排放量的稳定性．4、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段50,40，60,50…100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段80,70的概率.第18题图95、某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差x（°C）101113128发芽数y（颗）2325302616（1）求这5天发芽数的中位数；（2）求这5天的平均发芽率；（3）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，后面一天发芽种子数为n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足“25253030mn”的概率.6、一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．107、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段50,40，60,50…100,90后得到如下部分频率分布直方图