高一数学必修一函数及其表示-函数的概念

11.2函数及其表示§1.2.1函数的概念【教学目的】1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号；4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。【教学重点】在对应的基础上理解函数的概念【教学难点】函数概念的理解【教学过程】一、复习引入〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。〖提问〗问题1：y=1（x∈R）是函数吗？问题2：y=x与y=xx2是同一函数吗？〖投影〗观察对应：〖分析〗观察分析集合A与B之间的元素有什么对应关系？2二、讲授新课函数的概念（一）函数与映射〖投影〗函数：设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=)(xf，x∈A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数y=)(xf的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{)(xf|x∈A}，叫做函数y=)(xf的值域。函数符号y=)(xf表示“y是x的函数”，有时简记作函数)(xf。函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域{)(xf|x∈A}注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。映射：设,AB是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应:fAB为从集合A到集合B的一个映射.如果集合A中的元素x对应集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫合A中的元素x的象.映射概念的理解(1)映射BAf:包含三个要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则f.两个集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;(2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.映射BAf:函数ByAxxfy,),(集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合A中任一元素a,在集合B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个x,值域中都有唯一确定的值与之对应对集合B中任一元素b,在集合A中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应函数是特殊的映射,映射是函数的推广.〖注意〗（1）函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f：A→B。这里A，B为非空的数集。（2）A：定义域，原象的集合；{)(xf|x∈A}：值域，象的集合，其中{)(xf|x∈A}B；f：对应法则，x∈A，y∈B（3）函数符号：y=)(xf，y是x的函数，简记)(xf〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域：31、一次函数)(xf=ax＋b(a≠0)：定义域R，值域R2、反比例函数)(xf=xk(k≠0)：定义域{x|x≠0}，值域{y|y≠0}3、二次函数)(xf=ax2＋bx＋c(a≠0)：定义域R，值域：当a＞0时，｛y|y≥abac442｝；当a＜0时，｛y|y≤abac442｝。（三）函数的值：关于函数值)(af例析：若)(xf=x2＋3x＋1，求)2(f。解：)2(f=22＋3×2＋1=11〖注意〗（1）在y=)(xf中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样；（2）)(xf不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；（3）)(xf与)(af是不同的，前者为变数，后者为常数，)(af是)(xf的一个特殊值。（四）区间的概念〖投影〗设a、b是两个实数，而且a＜b，我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；（3）满足不等式a≤x＜b或者a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为),[ba、],(ba；（4）实数集R可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合可以分别表示为[a,＋∞)，（a,＋∞），（－∞,b]，（－∞,b）。〖注意〗注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如a≤x≤a。三、实例提升〖例析〗例1、设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，从M到N有4种对应如下图所示：其中能表示为M到N的函数关系的有②③。〖解析〗根据对应的含义和函数的概念，可以看出②③能表示M到N的函数关系。〖例析〗例2、求下列函数的定义域：①21)(xxf；②)(xf=23x；③)(xf=1x＋x21〖解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=)(xf，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合。解：①∵x－2=0，即x=2时，分式21x无意义，而x≠2时，分式21x有意义∴这个函数的定义域是{x|x≠2}。4②∵3x＋20，即x＜32时，根式23x无意义而3x＋2≥0，即x≥32时，根式23x才有意义∴这个函数的定义域是{x|x≥32}。③∵当x＋1≥0且2－x≠0，即x≥－1且x≠2时，根式1x和分式x21同时有意义∴这个函数的定义域是{x|x≥－1且x≠2}另解：要使函数有意义，必须：x＋1≥0且2－x≠0x≥－1且x≠2∴这个函数的定义域是：{x|x≥－1且x≠2}〖强调〗解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。求函数的定义域的常见类型：（1）当)(xf为整式时，定义域为R；（2）当)(xf为分式时，定义域为使分母不为0的x的集合；（3）当)(xf为n次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合；（4）当)(xf是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x的取值的集合。〖例析〗例3、已知函数)(xf=3x2－5x＋2，求)3(f，)2(f，)1(af。〖解析〗解：f(3)=3×32－5×3＋2=14；)2(f=3×(－2)2－5×(－2)＋2=8＋52；)1(af=3(a＋1)2－5(a＋1)+2=3a2＋a。〖例析〗例4、下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？（1）2)(xy；（2）33xy；（3）2xy〖解析〗解：（1）y=x，x≥0，y≥0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；（2）y=x，x∈R，y∈R，定义域值域都相同，是同一个函数；（3）y=|x|=)0()0(xxxx，y≥0；值域不同，不是同一个函数。〖例析〗例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1）3)5)(3(1xxxy52xy（定义域不同）（2）111xxy)1)(1(2xxy（定义域不同）（3）21)52()(xxf52)(2xxf（定义域、值域都不同）〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。四、演练反馈1、函数)13lg(13)(2xxxxf的定义域是（）5A．),31(B．)1,31(C．)31,31(D．)31,(2、下列各组，函数)(xf与)(xg表示同一个函数的是（）A．)(xf=1，)(xg=x0B．)(xf=x0，)(xg=xx2C．)(xf=x2，)(xg=4)(xD．)(xf=x3，)(xg=93)(x3、已知函数)(xf=2x－3，求：（1）)0(f，)2(f，)5(f；（2）)]([xff；（3）若x∈{0，1，2，3}，求函数的值域。4、若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个演练反馈答案：1、B2、D3、（1）)0(f=－3，)2(f=1，)5(f=7；（2）)]([xff=4x－9；（3）值域为{－3，－1，1，3}4、81,64,81五、课堂小结本节课学习了以下内容：函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，B必须是非空的数集；)(xfy表示y是x的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(af表示)(xf在x=a时的函数值，是常量；而)(xf是x的函数，通常是变量。【教后札记】本节的教学重点是在对应的基础上来理解函数的概念，主要包括函数的概念、三要素的理解，难点是函数定义和函数符号的认识与使用。由于学生在初中已学习了函数的传统定义，并学习了几类简单的函数，所以在高中重新定义函数时，学生并不陌生，重要的是让学生认识到它的优越性，从根本上揭示了函数的本质——由定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，通过例题解析让学生充分理解函数的概念。6〖板书〗函数的概念（一）函数与映射函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域{)(xf|x∈A}注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。（二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数)(xf=ax＋b(a≠0)：定义域R，值域R2、反比例函数)(xf=xk(k≠0)：定义域{x|x≠0}，值域{y|y≠0}3、二次函数)(xf=ax2＋bx＋c(a≠0)：定义域R，值域：当a＞0时，｛y|y≥abac442｝；当a＜0时，｛y|y≤abac442｝。〖板书〗（三）函数的值：关于函数值)(af例析：若)(xf=x2＋3x＋1，求)2(f。解：)2(f=22＋3×2＋1=11〖板书〗（四）区间的概念（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；（3）满足不等式a≤x＜b或者a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为),[ba、],(ba；（4）实数集R可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合可以分别表示为[a,＋∞)，（a,＋∞），（－∞,b]，（－∞,b）。