如何把抽象的数学概念直观起来

如何把抽象的数学概念直观起来中学生普遍认为数学概念是枯燥无味的，面对数学时总是提不起兴趣，更谈不上学好数学了。我们知道，一般学生的思维是日常生活中的现实的世界，而数学概念是对具有共同特性的某些事物的一种高度概括，并且数学概念的阐述语言是非常精简的，所以，对学生来说，数学概念是抽象的。如果我们在数学概念教学活动中脱离了现实，没有把抽象的数学概念与学生思维中的现实世界联系上，那么在学生的知识结构体系中就找不到一个新的生长点，此时，学生在现实与抽象之间好像被隔着一道屏障，进入不了数学的抽象世界，抽象的数学概念就难以容入他们的知识结构体系中。因此，我们在数学概念教学活动中，要努力为学生提供丰富的、有趣的现实材料，尽量把抽象的数学概念变成能看得见、摸得着的直观的数学，引导学生从现实的世界走向数学抽象的世界，从而理解好数学概念。一、在现实世界中寻找数学概念的模型，树立概念的直观形象。对于某些数学概念，在我们数学老师眼中是理所当然的，往往认为：定义是这样的，不需要解释。但对于学生来说，对于一个凭空定义的概念，如果他们在现实生活中找不到这个概念的模型，他们就难以想象这个概念的存在。最后，他们也难以接受和理解这个概念。因此我们要寻找数学概念的模型，把抽象的数学概念变为直观的模型。例如：正切函数概念的情境引入。1、当一位滑翔爱好者驾驶新的滑翔机时，通常非常小心，首先从10m高的地方向前滑行，结果滑行的水平直线距离为40m（如图1）。经过一系列成功的滑翔后，他决定从15m更高的地方滑行。图1A、这次他滑行多远？hlab如图4如图2B、下两次分别从50m高和100m高的地方滑行，每次滑行又有多远？总结：我们在解决问题时，运用了一个比值lh，这个比值lh称之为滑翔比，角称之为滑翔角（如图2）。2、一位出色的滑翔员，在他的一次滑行中，从25m高的地方滑行，滑行距离185m（如图3）。回来后，他对滑翔机进行了改进，然后从20m高的地方滑行，滑行了155m。3问：A、他两次的滑翔比各是多少？B、哪一次滑行更陡？3、滑翔比与滑翔角的关系是非常重要的。不仅在滑翔中有应用，而且在其他领域也有广泛的应用。正因如此，我们对滑翔比和滑翔角的关系进行了更一般性的表达。如图4，比值ba称为角的正切值。即的邻边角的对边角batan。在概念的情境引入过程中，我们从有趣的情境出发，经过了一连串的数学问题，学生的思维经历了由具体到抽象的过程，不知不觉的来到了抽象概念门口。其实，滑翔比正是正切函数概念的现实世界的模型，这样，正切函数就直观起来。学生就会体会到：这个概念不是凭空捏造的，也不是强加上去的，而是很自然的来自现实世界。最后，学生很自然的接受和理解正切函数的概念。二、寻找数学概念的发生与发展过程，丰富数学概念的内涵。每个数学概念都有它的发生与发展过程。特别对于那些比较抽象的数学概念，学生感觉难以接受它。就好像你面前站着一个人，你只知道他的姓名，但他是哪里人，从哪里来，干什么工作等等，你都不知道，就不能说你认识、理解这如图3个人。学生在理解一个抽象的数学概念的过程中也是如此，了解数学概念的发生与发展的过程，丰富数学概念的内涵，才能更好地理解好数学概念。例如：高中数学教材人教版A版必修1第二章2．２对数函数。教材是从“如何解方程x01.11318，x01.11320”的情境引入对数的概念，然后用指数来定义对数。学生虽然对对数的概念在大脑里有了一些认知，但这样不足以令学生完全接纳它，因为他们对对数的了解甚少。所以，我们要丰富对数的内涵，数学概念才能在学生的思维里就直观起来。因此，我们在学习对数概念时适当地插入对数的发生与发展过程（数学史）：苏格兰数学家在研究天文学的过程中，每天都要进行天文数字的运算，运算起来相当繁琐，一天的大部分的工作时间都消耗在这繁琐的运算工作中，给科学研究带来很多的不便。为了简化繁琐的运算，数学家纳皮尔发明了对数。其实，对数是“一对一的数”，一个位数大的数对应一个位数小的数字，然后位数大的数之间的乘法变成位数小的数相加。这样运算起来就简单了，节约了很多时间。运算转换如下：1、先把位数大的数换成小的数：普通数字的世界指数的世界为底的对数世界以10000,000,000,10011101112908561108.6101108.62、两个数的乘法换成加法普通数字世界的乘法000,000,000,600,085,1291290856000,000,000,100指数世界的乘法1108.171108.611101010为底的对数世界的加法以101108.171108.611学生通过了解对数的发生和发展过程，赞叹着对数原来是这么的神奇，能把天文数字的乘法换成小数字的加法，把如此繁琐的运算变成如此简单的运算，为我们科学研究带来这么多的方便。这样他们对对数产生了好感，从而更易接纳、理解对数的概念，从而进入对数的抽象世界。三、生动的比喻，让概念更具生机。比喻手法往往在作文里用得比较多，如果我们适当地应用在数学概念教学活动中，即把一个抽象的数学概念比喻为一个实实在在的事物，数学概念就会变为一个能看得见、摸得着的直观的事物，那么这个数学概念就在学生思维中活跃起来，显得生机勃勃了。通过适当的比喻，数学概念就直观起来，学生就容易接纳这个数学概念，教学活动会取得事半功倍的教学效果。例如：高中数学人教版A版选修2—2第一章复合函数的定义是这样的：一般地，对于两个函数)(ufy和)(xgu，如果通过变量yu,可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数)(ufy和)(xgu的复合函数，记作))((xgfy。其实，我们可以把复合函数))((xgfy看作：一个大的宝盒)(ufy里面装着一个小的宝盒)(xgu。如函数)23ln(xy，它是由uyln与23xu复合而成的，大的宝盒就是uyln，它里面装着一个小的宝盒23xu。求函数)23ln(xy的导数，相当于我们要从小的宝盒里取出一颗钻石。也就是说，我们首先打开大的宝盒（求uyln的导数），再打开小的宝盒（求23xu导数），最后取出钻石（'''xuxuyy）。这样，求复种函数的导数的过程就变为一个生动的寻宝故事。