解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法

解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2018·新疆中考)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是(B)A.B.1C.D.21222．如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为6.解析：如图，设BE与AC交于点P，连接BD.∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，即P为AC与BE的交点时，PD＋PE最小，为BE的长度．∵正方形ABCD的边长为6，∴AB＝6.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6.故所求最小值为6.故答案为6.二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为.245解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴OB＝OC＝AC＝5.如图，连接OP，∵S△OBP＋S△OCP＝S△OBC，∴＋＝S△OBC，∴＋＝S△OBC.∵S△OBC＝S矩形ABCD＝AB·BC＝×6×8＝12，+＝12，∴PE＋PF＝.122OBPF2OCPE52PF52PE14141424552PF52PE【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于.52解析：∵菱形ABCD的周长为40，面积为25，∴AB＝AD＝10，S△ABD＝.连接AP，则S△ABD＝S△ABP＋S△ADP，∴×10(PE＋PF)＝，∴PE＋PF＝.2521225252(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为.22解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴＋＝.又∵BE＝BC，∴＋＝，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝，∴PM＋PN＝.2BEPM2BCPN2BCEH2PM2PN2EH2222◆类型二正方形中利用旋转性解题4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.求证：BP＋CP＝OP.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝＝＝OP.OE2＋OP2OP2＋OP22∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝OP.25．(2018·烟台中考)【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图②，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．11解：【问题解决】思路一：如图①，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，AP′＝CP＝3.在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝2，∴∠BPP′＝45°.根据勾股定理得，PP′＝BP＝2.∵AP＝1，∴AP2＋PP′2＝1＋8＝9.∵AP′2＝32＝9，∴AP2＋PP′2＝AP′2.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′＝90°＋45°＝135°.22思路二：同思路一的方法．【类比探究】如图②，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝1，AP′＝CP＝.在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝1，11∴∠BPP′＝45°.根据勾股定理得，PP′＝BP＝.∵AP＝3，∴AP2＋PP′2＝9＋2＝11.∵AP′2＝()2＝11，∴AP2＋PP′2＝AP′2.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′－∠BPP′＝90°－45°＝45°.2211A.28B.24C.32D.32－81．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为(A)33332．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据下图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(＋)．易知S△ADC＝S△ABC，＝，＝.可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.S△AEFS△CFMS△ANFS△AEFS△FGCS△CFM3．如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；证明：根据折叠得∠DBC＝∠DBE，又∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形．(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；①四边形BFDG是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG.又∵FD＝BF＝BG，②∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10.∴OB＝BD＝5.设DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝，即BF＝，12254254②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．4．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图①，ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则ABCD为1阶准菱形．(1)猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形；已知ABCD的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b＋r，b＝5r，请写出ABCD是12阶准菱形；解析：如图①，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形．(2)操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把ABCD沿BE折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.求证：四边形ABFE是菱形．