高中数学必修一讲义

1高中数学《必修一》讲义一．序言（一）、为什么要学数学？1.提高思维能力，增长聪明才智；2.学习与实践的基础;3.“高考市场”的拳头产品(二)、数学为什么难学？1.高度的抽象性2.严密的逻辑性3.应用的广泛性(三)、如何学好高中数学？1.牢记基础知识;2.领悟思想方法;3.把握主干问题;4.提高运算技能;5.注重理性思维;6.勇于探索创新;7.加强数学应用;8.优化心理品质.（四）、对数学学习有什么要求？1.专注认真;2.勤思多练;3.常做笔记;4.规范作业;5.加强交流;6.反思评价.老师寄语：好的开始是成功的一半，新的学期开始了，请大家调整好自己的思想，找到学习的原动力。播种一种思想，收获一种行为；播种一种行为，收获一种习惯；播种一种习惯，收获一种性格；播种一种性格，收获一种命运。愿每位同学都有个好的开始。2第一讲：集合的含义.表示及集合间的基本关系（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。3.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）非负奇数；（4）方程210x的解；（5）某校2007级新生；（6）血压很高的人；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点（9）全班成绩好的学生。对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作：a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作：aA例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A4A，等等。6．集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。７．常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；例题讲解：例1．用“∈”或“”符号填空：（1）8N；（2）0N；（3）-3Z；（4）2Q；（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。3例2．已知集合P的元素为21,,33mmm,若3∈P且-1P，求实数m的值。（二）．集合的表示方法我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。2．各个元素之间要用逗号隔开；3．元素不能重复；4．集合中的元素可以数，点，代数式等；5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,......例1．用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；（4）方程组20;20.xyxy的解组成的集合。（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{}内。具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：()xApx如：{x|x-32}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；说明：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z。辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。例2．试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；（3）方程组3;1.xyxy的解。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注4意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。课堂练习：1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数2．集合A＝{x|43x∈Z，x∈N}，则它的元素是。3．已知集合A＝{x|-3x3，x∈Z}，B＝{(x,y)|y＝x2+1，x∈A}，则集合B用列举法表示是（三）.子集、空集等概念比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）{1,2,3}A，{1,2,3,4,5}B；（2）C={x|x是第一中学2010年9月入学的高一年级同学}，D={x|x是第一中学2010年9月入学的高一年级女同学}.（3）{|}Exx是两条边相等的三角形，{}Fxx是等腰三角形1．子集的定义：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作：()ABBA或读作：A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A当集合A不包含于集合B时，记作ABØ用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：如：（1）中AB2．集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若ABBA且，则AB。如（3）中的两集合EF。3．真子集定义：若集合AB，但存在元素,xBxA且，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）。记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）如：（1）和（2）中AB，CD；4．空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：。用适当的符号填空：0；0；；05．几个重要的结论：（1）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空集合的真子集；（3）任何一个集合是它本身的子集；（4）对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC。BA5说明：1．注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；2．在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。例题讲解：例1．填空：（1）．2N；{2}N；A;（2）．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x8,x∈N}，则AB；AC；{2}C；2C例2．写出集合{,}ab的所有子集，并指出哪些是它的真子集。例3．若集合260,10,AxxxBxmxBA，求m的值。（m=0或1132或-）例4．已知集合25,121AxxBxmxm且AB，求实数m的取值范围。（3m）第二讲：集合的基本运算（一）.交集、并集概念及性质思考1．考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：6（1）{1,3,5}A，{2,4,6},1,2,3,4,5,6BC；（2）{}Axx是有理数，{},BxxCxx是无理数是实数；1.并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集（unionset）。记作：A∪B（读作：“A并B”），即,ABxxA或xB用Venn图表示：这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即AB=C说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？A∪A＝,A∪Ф＝,A∪BB∪AA∪B＝A,A∪B＝B.巩固练习（口答）：①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝;②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝;③．A＝{x|x3}，B＝{x|x6}，则A∪B＝。2.交集的定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersectionset），记作A∩B（读“A交B”）即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集）常见的五种交集的情况：讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？A∩A＝A∩Ф＝A∩BB∩AA∩B＝AA∩B＝B巩固练习（口答）：①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝;②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝;③．A＝{x|x3}，B＝{x|x6}，则A∩B＝。例题讲解：ABA(B)ABBABA7例1．设集合12,13AxxBxx，求A∪B．变式：A＝{x|-5≤x≤8}例2．设平面内直线1l上点的集合为L1，直线2l上点的集合为L2，试用集合的运算表示1l，2l的位置关系。例3．已知集合222190,560AxxmxmByyy2280Czzz是否存在实数m，同时满足,ABAC？（m=-2）（二）.全集、补集概念及性质1.全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universeset）,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。2.补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集（complementaryset），记作：UCA，读作：“A在U中的补集”，即,UCAxxUxA且用Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）讨论：集合A与UCA之间有什么关系？→借助Venn图分析,,()UUUUACAACAUCCAA,UUCUCU巩固练习（口答）：①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则UCA=，UCB=；②．设U＝{x|x8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则UCA＝；③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则UCA＝。例题讲解：例1．设集,1233456UxABx是小于9的正整数，，，，，，，求UCA，UCB．8例2．设全集4,23,33UxxAxxBxx集合，求UCA，AB，,(),()(),()(),()UUUUUUABCABCACBCACBCAB。（结论：()()(),()()()UUUUUUCABCACBCABCACB）例3．设全集U为R，22120,50AxxpxBxxxq，若()2,()4UUCABACB，求AB。集合复习（一）集合的基本运算：例1：设U=R，A={x|-5x5},B={x|0≤x7},求A∩B、A∪B、CUA、CUB、(CUA)∩(CUB)、(CUA)∪(CUB)、CU(A∪B)、CU(A∩B)。说明：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。例2：全集U={x|x10，x∈N}，AU，BU，且（CUB）∩A={1,9}，A∩B={3}，（CUA)∩(CUB)={4,6,7}，求A、B。说明：列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法。（二）集合性质的运用：例3