2014年高考安徽理科数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年安徽，理1，5分】设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若1iz，则iizz（）（A）2（B）2i（C）2（D）2i【答案】C【解析】1iii(1i)(i1)(i1)2iizz，故选C．（2）【2014年安徽，理2，5分】“0x”是“ln10x”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】ln(1)001110xxx，所以“0x”是“ln10x”的必要而不充分条件，故选B．（3）【2014年安徽，理3，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）（A）34（B）55（C）78（D）89【答案】B【解析】x1123581321y12358132134z2358132134555550，故运算7次后输出的结果为55，故选B．（4）【2014年安徽，理4，5分】以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是13xtyt（t为参数），圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为（）（A）14（B）214（C）2（D）22【答案】D【解析】将直线l方程化为一般式为：40xy，圆C的标准方程为：22(2)4xy，圆C到直线l的距离为：|24|22d，∴弦长22222LRd，故选D．（5）【2014年安徽，理5，5分】,xy满足约束条件20220220xyxyxy，若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）（A）12或1（B）2或12（C）2或1（D）2或1【答案】D【解析】画出约束条件表示的平面区域如右图，zyax取得最大值表示直线zyax向上平移移动最大，a表示直线斜率，有两种情况：1a或2a，故选D．（6）【2014年安徽，理6，5分】设函数fxxR满足sinfxfxx．当0x时，0fx，则236f（）2（A）12（B）32（C）0（D）12【答案】A【解析】2317171111175511171111()()sin()sinsin()sinsinsin066666666662222ffff，故选A．（7）【2014年安徽，理7，5分】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）（A）213（B）183（C）21（D）18【答案】A【解析】如右图，将边长为2的正方体截去两个角，∴213226112(2)21324S表，故选A．（8）【2014年安徽，理8，5分】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为060的共有（）（A）24对（B）30对（C）48对（D）60对【答案】C【解析】与正方体一条对角线成060的对角线有4条，∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为060的共有41248（对），故选C．（9）【2014年安徽，理9，5分】若函数|1||2|fxxxa的最小值为3，则实数a的值为（）（A）5或8（B）1或5（C）1或4（D）4或8【答案】D【解析】（1）当2a时，12a，此时31,11,1()2312xaxaxaxfxaxax；（2）当2a时，12a，此时31,2()1,12311axaxfxaxaxxax，在两种情况下，min()()|1|322aafxf，解得4a或8a，（此题也可以由绝对值的几何意义得min()|1|32afx，从而得4a或8a），故选D．（10）【2014年安徽，理10，5分】在平面直角坐标系xOy中，向量,ab满足||||1ab，0ab．点Q满足2OQab，曲线|cossin,0CPOPab，区域|0||,PrPQRrR．若C为两段分离的曲线，则（）（A）13rR（B）13rR（C）13rR（D）13rR【答案】A【解析】设(1,0),(0,1)ab则(cos,sin)OP，(2,2)OQ，所以曲线C是单位元，区域为圆环（如右图），∵||2OQ，∴13rR，故选A．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2014年安徽，理11，5分】若将函数sin24fxx的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴3对称，则的最小正值是．【答案】38【解析】()sin[2()]sin(22)44fxxx，∴2,()42kkZ，∴,()82kkZ，当1k时min38．（12）【2014年安徽，理12，5分】已知数列na是等差数列，若11a，33a，55a构成公比为q的等比数列，则q．【答案】1q【解析】∵{}na是等差数列且1351,3,5aaa构成公比为q的等比数列，∴2111(1)(45)(23)aadad，即2111(1)[(1)4(1)[(1)2(1)]aadad，令11,1axdy，则有2(4)(2)xxyxy，展开的0y，即10d，∴1q．（13）【2014年安徽，理13，5分】设0a，n是大于1的自然数，1nxa的展开式为2012nnaaxaxax．若点,0,1,2iiAiai的位置如图所示，则a．【答案】3a【解析】由图易知0121,3,4aaa，∴122113,()4nnCCaa，∴23(1)42nanna，解得3a．（14）【2014年安徽，理14，5分】设1F，2F分别是椭圆222:101yExbb的左、右焦点，过点1F的直线交椭圆E于A，B两点，若11||3||AFBF，2AFx轴，则椭圆E的方程为．【答案】22312xy【解析】由题意得通径22AFb，∴点B坐标为251(,)33cBb，将点B坐标带入椭圆方程得22221()53()13bcb，又221bc，解得222313bc，∴椭圆方程为22312xy．（15）【2014年安徽，理15，5分】已知两个不相等的非零向量,ab，两组向量12345,,,,xxxxx和12345,,,,yyyyy均由2个a和3个b排列而成．记1122334455Sxyxyxyxyxy，minS表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若ab，则minS与a无关；③若//ab，则minS与||b无关；④若||4||ba，则min0S；⑤若||4||ba，2min8||Sa，则a和b的夹角为4．【答案】②④【解析】S有下列三种情况：222222222123,,SaabbbSaababbbSababababb∵222212232()||0SSSSabababab，∴min3SS，若ab，则2min3SSb，与||a无关，②正确；若//ab，则2min34SSabb，与||b有关，③错误；若||4||ba，则2222min34||||cos||4||||||||||0SSabbabbbb，④正确；4若2min||2||,8||baSa，则2222min348||cos4||8||SSabbaaa，∴1cos2，∴3，⑤错误．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2014年安徽，理16，12分】设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且3b，1c，2AB．（1）求a的值；（2）求sin4A的值．解：（1）∵2AB，∴sinsin22sincosABBB，由正弦定理得22222acbabac，∵3,1bc，∴212,23aa．（2）由余弦定理得22291121cos263bcaAbc，由于0A，∴22122sin1cos1()33AA，故2221242sin()sincoscossin()44432326AAA．（17）【2014年安徽，理17，12分】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．解：用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，kA表示“第k局甲获胜”，kB表示“第k局乙获胜”，则21(),(),1,2,3,4,533kkPAPBk．（1）121231234121231234()()()()()()()()()()(()()PAPAAPBAAPABAAPAPAPBPAPAPAPBAPA2212221225633333333381．（2）X的可能取值为2,3,4,5，121212125(2)()()()()()()9PXPAAPBBPAPAPBPB，1231231231232(3)()()()()()()()()9PXPBAAPABBPBPAPAPAPBPB，123412341234123410(4)()()()()()()()()()()81PXPABAAPBABBPAPBPAPAPBPAPBPB8(5)1(2)(3)(4)81PXPXPXPX，故X的分布列为X2345P59291081881∴52108224234599818181EX．（18）【2014年安徽，理18，12分】设函数23110fxaxxxa．（1）讨论fx在其定义域上的单调性；（2）当0,1x时，求fx取得最大值和最小值时的x的值．5解：（1）()fx的定义域为(,)，2'()123fxaxx，令'()0fx得1212143143,,33aaxxxx，所以12'()3()()fxxxxx，当1xx或2xx时，'()0fx；当12xxx时'()0fx，故()fx在1(,)x和2(,)x内单调递减，在12(,)xx内单调递增．（2）∵0a，∴120,0xx，（ⅰ）当4a时21x，由（1）知()fx在[0,1]上单调递增，∴()fx在0x和1x处分别取得最小值和最大值．（ⅱ）当40a时，21x，由（1）知()fx在2[0,]x上单调递增，在2[,1]x上单调递减，∴()fx在21433axx处取得最大值，又(0)1,(1)ffa，∴当10a时()fx在1x处取得最小值，当1a时()fx在0x和1x处同时取得最小值，当41a