小升初奥数专题：数论问题

试卷第1页，总6页小升初奥数专题：数论问题一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.把一个两位数质数写在另一个两位数质数右边，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除，那么这样的两个质数乘积最大是________．2.两数乘积为，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多．那么这28001两个数分别是________、________．3.两个不同的数，它们的最小公倍数是，那么这样的两个数共有________组．904.有三条圆形跑道，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿相同方向跑步．里圈跑道长千米，中圈长千米，外圈长千米．甲每小时跑千米，乙每小时跑0.350.50.7567.5千米，丙每小时跑千米．他们同时从点出发，那么________分钟后三人第一次同时10A位于图中水线上．5.三角形的三边长、、均为整数，且、、的最小公倍数为，、的最大公约abcabc60ab数为，、的最大公约数为，那么的最小值为________．4bc3abc6.用、、、、、这六个数码组成两个三位数和，那么、、这三个数的234567ABAB540最大公约数最大可能是________．7.已知三个两位奇数，它们的最大公约数是，但是两两均不互质，且三个数的最小1公倍数共有个约数，那么这三个数可以为________、________、________．188.一个自然数除以、、后分别余、、，而所得的三个商的和是，这个数是789357758________．9.甲、乙、丙三数分别为、、．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数526539705AA的倍，除乙数所得余数与除丙数所得余数的比是，那么是________．2AA2:3A10.有一个自然数，它除以、、所得到的商与余数之和都相等，这样151719(1)(0)的数最小可能是________．试卷第2页，总6页参考答案与试题解析小升初奥数专题：数论问题一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.【答案】1073【考点】最大与最小【解析】根据题意，设出两个质数，再根据题中的数量关系，列出方程，再根据未知数的取值受限，解答即可．【解答】解：设，是满足题意的质数，根据一个两位质数写在另一个两位质数后面，得到一ab个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除，那么有（为大于的整数），100a+b=k(a+b)÷2k0即，(200−k)a=(k−2)b由于，均为质数，所以可以整除，可以整除，abk−2a200−kb那么设，，（为整数），k−2=ma200−k=mbm得到，m(a+b)=198由于可以被整除，a+b2所以是的约数，m99可能是，，，，，，139113399若，且为两位数显然只有这时，不是质数，m=1a+b=19899+99ab若，则，m=3a+b=66a=13b=53或，a=19b=47或，a=23b=43或，a=29b=37若，则（舍去），m=9a+b=22a=11b=11其他的值都不存在满足的，，mab综上，实数对有共对，ab(13, 53)(19, 47)(23, 43)(29, 37)4当两个质数最接近时，乘积最大，所以两个质数乘积最大是：，29×37=1073故答案为：．10732.【答案】,16175【考点】约数个数与约数和定理【解析】先把分解质因数，找出属于完全平方数的约数的个数，再进一步分析，找出符合2800题意的答案．【解答】解：任何一个正整数，其约数应该是成对出现的，这意味着，一般情况下，一个正整数应该有偶数个约数；但当正整数有为完全平方数的约数时，就会有奇数个约数；根据题意：“两个数的乘积等于，其中一个数的约数个数比另一个数的约数多”，28001这表明：这两个数中有一个是完全平方数；试卷第3页，总6页由于：，其属于完全平方数的约数有五个：、、2800=2×2×2×2×5×5×722=442=16、、，52=25102=100202=400分别进行分析：，各有个和个约数，不符合题意，，各有2800=4×700316=7×4002个和个约数，不符合题意，15，各有个和个约数，符合题意，，各有个和个约数，不2800=16×17556=25×112310符合题意，，各有个和个约数，不符合题意．=28×10069故答案为：，．161753.【答案】22【考点】公约数与公倍数问题【解析】求两个数的最小公倍数有三种情况：如果两个数是互质数，它们的乘积即为最小公倍数；如果两个数有约数和倍数关系，它们的最小公倍数是较大的数；如果两个数，没有特殊关系，就先把它们分解质因数，分解到剩下的两个数是互质数为止，再把商和除数乘起来；由此先找出的约数，进一步解答即可．90【解答】解：的约数有：、、、、、、、、、、、，90123569101518304590最小公倍数是的两个数有：和、和、和、和、和、和、和、901902903905906909901090和、和、和、和；1590189030904590和、和、和、和、和；245645104518453045和、和、和、和；301851810181518和，和；910309一共有组．22故答案为：．224.【答案】126【考点】分数的最大公约数和最小公倍数【解析】求出三人跑一圈或半圈用的时间，再将其化为最简分数，通分，求出分子的最小公倍数，除以分母即可．【解答】解：同时回到终点，跑一圈的情况：(1)甲跑一圈的时间为；0.35÷6=7120乙跑一圈的时间为；0.5÷7.5=115丙跑一圈的时间为；0.75÷10=340将、、通分可得：、、；7120115340712081209120再求出、、的最小公倍数为；789504（小时）．504÷120=4.2小时分钟4.2=252试卷第4页，总6页同时跑到中点，跑半圈的情况(2)甲跑半圈的时间为小时；0.35÷2÷6=7240乙跑半圈的时间为小时；0.5÷2÷7.5=130丙跑半圈的时间为小时；0.75÷2÷10=380通分可得：、、；724082409240再求出、、的最小公倍数为；789504（小时）504÷240=2.1小时分钟2.1=126对比、，可知在第一次同时到中点的用时比第一次到终点的用时要少，所以，第(1)(2)一次同时位于图中水平线上需用时分钟．126故答案为：．1265.【答案】31【考点】因数、公因数和最大公因数求几个数的最小公倍数的方法【解析】根据题意，、、的最小公倍数为，、的最大公约数为，、的最大公约数为，abc60ab4bc3因，所以、、中必有一值是、、的倍数，为使的最小值，可60=3×4×5abc345a+b+c以得出：不是的倍数，那么等于，为的倍数，那么等于，为的倍数，那b5b12c5c15a5么等于，等于，根据三角形两边之和大于第三边的道理故舍去是的倍数．a20c5a5【解答】解：的最小值，则可以得出：a+b+c．不是的倍数，，1b5b=12．设为的倍数，则，时，，2c5c=15a=4a+b+c=31．为的倍数，则，此时，不满足三角形的定理，舍去，3a5a=20c=5ab+c答：最小为，a+b+c31故答案为：．316.【答案】108【考点】因数、公因数和最大公因数【解析】令，代表所求的两个三位数，表示，和的最大公约数，设ab(a, b, 540)ab540d=(a, b, ，，因为给定的六个数字中只有一个的倍数，所以的因540)540=2×2×3×3×3×55d数中不可能包含，此时的最大值是，易知，满足条件，其他的数字5d108a=432b=756组合可用穷举法一一淘汰．【解答】解：令，代表所求的两个三位数，表示，和的最大公约数，ab(a, b, 540)ab540设，，d=(a, b, 540)540=2×2×3×3×3×5因为、、、、、这六个数码中只有一个的倍数，2345675故的因数中不可能包含，d5试卷第5页，总6页的最大值．d=2×2×3×3×3=108故答案为：．1087.【答案】,,352115【考点】约数个数与约数和定理公约数与公倍数问题【解析】由于个数的最小公倍数共有个约数，，即将这个最小公倍1818=(2+1)×(2+1)×(1+1)数分解质因数后，应共有个质因数，且质因数的指数为分别为，，；而这个公倍3221数是三个奇数的最小公倍数，所以其质因数中没有．所以这个最小公倍数可为：252×，即，由题意可知，这是三个两位奇数，它们的最大公约数是，72×35×5×7×7×31但是两两均不互质，，，还余，应为．5×7=353×7=2153×5=15【解答】解：，即这个最小公倍数的质因数的指数为分别为，，；18=(2+1)×(2+1)×(1+1)332所以这个最小公倍数可为：，即；53×32×725×5×5×3×3×3×7×7由题意可知，这是三个两位奇数，它们的最大公约数是，但是两两均不互质，1，，为．5×7=353×3×7=633×5×5=75即这个数可以为，，．356375故答案为：、、．3563758.【答案】2005【考点】带余除法【解析】设这个自然数为，则根据被除数、除数、商与余数的关系可知（被除数-余数）除数x÷商，由此可得方程：，解此方程即可．=(x−3)÷7+(x−5)÷8+(x−7)÷9=758【解答】解：设所求数为，则得方程：x(x−3)÷7+(x−5)÷8+(x−7)÷9=758，72x−216+63x−315+56x−392504=758191x−923=758×504，191x=382955．=2005故填：．20059.【答案】23【考点】带余除法【解析】这道题是倍余问题，这类问题有一个通用的解法：如正整数除以正整数的余数是正AD整数除以正整数的余数的倍，正整数除以正整数的余数是正整数除以正整数BDEBDCD的余数的倍．求正整数．解法为：FD，求出与的差，与的差，（大减小），再求出这两个差的最大公约数，列1AB×EBC×FM试卷第6页，总6页出的所有公约数；M，求出、、的最大公约数，列出的所有公约数；2ABCNN，最大公约数的所有公约数中不是最大公约数的公约数的约数都有可能是的取值；3MND，验证这些取值，确定出正确的值．4本题据此解法完成即可．【解答】解：；539×2−536=552；539−705×23=69，；(552, 69)=3×8×23×1(526, 539, 705)=1则的取值可能有个：、、．A33823验证这些取值：，，不符合题意；536÷3=175...1539÷3=179...2，，，不符合题意；536÷8=65...6539÷8=67...3705÷8=88...1，，，符合题意．536÷23=22...20539÷23=23...10705÷23=30...15故答案为：2310.【答案】1081【考点】最大与最小【解析】首先抓住余数与商的和相同，设出这个未知数，进一步设出三个数的商，表示出三个数，找出三个数的商之间的关系，设出三个数的公约数，利用余数之间的关系求得三个数的商，由此分析得出结论．【解答】解：设商和余数之和为，商分别为，，，kxyz则，15x+k−x=17y+k−y=19z+k−z即，；14x=16y=18z7x=8y=9z设，，的最大公约数为，则xyzp，，，x=72py=63pz=56p另一方面，有，，；0k−x150k−y170k−z19即，，；0k−72p150k−63p170k−56p19由得，k−72pk−63p179p17那么；p179由得；k−72pk−56p19p1916即只能为p1那么，，，；x=72y=63z=56，，；15x=108017y=107119z=1064而，1064+19=1083那么所求的奇自然数小于（否则）1083z19但它大于（因为它除以的余数大于），1080150所以它只能是．1081故答案为：．1081