2020届二轮复习---立体几何小题专练--课件(全国通用)

第10讲立体几何考向调研考向一三视图空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法：①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正(主)侧(左)一样高，正(主)俯一样长，侧(左)俯一样宽；看不到的线画虚线．多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．旋转体的侧面积和表面积(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)．(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)．(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.空间几何体的体积公式几何体名称体积棱(圆)柱V＝Sh(S为底面面积，h为高)棱(圆)锥V＝13Sh(S为底面面积，h为高)棱(圆)台V＝13(S′＋S′S＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)球V＝4π3R3(R为球半径)三视图问题的解题策略(1)由三视图还原直观图的方法：①还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体．②注意图中实、虚线，实际分别是原几何体中的可视线与被遮挡线．③想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．④由三视图还原直观图时，往往采用削体法，选定一个视图，比如俯视图，然后逐步削切正方体等几何载体．(2)已知三视图中的某两个，求余下一个的三视图的方法：先根据已知的三视图中的某两个，还原、推测直观图的可能形式，找余下一个三视图的可能形式．作为选择题，也可将选项依次代入，再看看给出的三视图是否符合．1.(2015·课标全国Ⅱ·6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15答案D解析如图，由已知条件可知，截去部分是以△ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D－ABC.设正方体的棱长为a，则截去部分的体积为16a3，剩余部分的体积为a3－16a3＝56a3.它们的体积之比为15.故选D.2.(2016·课标全国Ⅰ·6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28π答案A解析由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π.选A.3．(2016·课标全国Ⅱ·6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π答案C解析该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长c＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝22＋（23）2＝4，圆柱的高h＝4，所以该几何体的表面积S表＝πr2＋ch＋12cl＝4π＋16π＋8π＝28π.故选C.4．(2016·课标全国Ⅲ·9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋365B．54＋185C．90D．81答案B解析由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为35和3，故面积都为95，则该几何体的表面积为2×(9＋18＋95)＝54＋185.5.(2017·课标全国Ⅰ·7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10B．12C．14D．16答案B解析由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为（2＋4）×22×2＝12.故选B.6.(2017·课标全国Ⅱ·4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π答案B解析由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.7．(2018·课标全国Ⅰ·7)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2答案B解析由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝25.故选B.8．(2018·课标全国Ⅲ·3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析由题意知，俯视图中应有一个不可见的长方形，且俯视图应为轴对称图形．故A正确．9．(2019·课标全国Ⅱ·16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案262－1解析依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.命题规律：考查内容：(1)根据三视图计算几何体的表面积、体积、棱长．(2)以三视图为背景，考查几何体中有关最值的问题．押题方向：1．判断三视图；2．求几何体(或某个视图)的表面积、体积；3．最值问题．(1)(2019·深圳市第一次调研考试)如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．72B．64C．48D．32【解析】由三视图知，该几何体为一个长方体ABCD－A1B1C1D1挖去了一个四棱锥O－ABCD后剩余的部分，如图所示．长方体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为4，4，5，四棱锥O－ABCD的底面边长分别为4，4，高为3，则所求几何体的体积V＝V长方体－V四棱锥＝4×4×5－13×4×4×3＝64.故选B.【答案】B(2)(2019·九江市第一次统一考试)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.π2＋3B．π＋3C.3π2＋3D．3π＋3【解析】由三视图知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的半圆锥，其正面为圆锥的轴截面，形状为等边三角形，该截面三角形的面积为12×2×3＝3；侧面展开图为扇形，该扇形的弧长为12×2π×1＝π，半径为（3）2＋12＝2，其面积为12×π×2＝π；底面为半圆，其面积为12×π×12＝π2.则该几何体的表面积为3π2＋3.故选C.【答案】C(3)(2019·遵义市第一次联考)如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为()A．32B．4C．33D．5【解析】由三视图可得该几何体的直观图如图所示，其中AD，AB，AG两两垂直，平面AEFG⊥平面ABCD，BC∥AE，AB＝AD＝AG＝BC＝FG＝CD＝DF＝3，DE＝1，AE＝4.根据几何体的性质得AC＝BG＝CF＝AF＝GD＝BD＝32，BE＝EG＝32＋42＝5，EF＝CE＝10.因为AD⊥AG，AD⊥AB，AB∩AG＝A，所以AD⊥平面ABG，所以BC⊥平面ABG，所以BC⊥BG.同理可得GF⊥BG，所以BF＝CG＝32＋（32）2＝27＝33，故该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为33.故选C.【答案】C(4)(2019·福州市质量检测)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．32B．16C.323D.803【解析】由三视图可得该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥后余下的部分，如图．三棱柱的底面是以4为直角边的等腰直角三角形，高为4，三棱锥的底面是三棱柱的上底面，顶点是三棱柱侧棱的中点，则该几何体的体积为12×42×4－13×12×42×2＝803.【答案】D(5)(2019·石家庄二中期末考试)如图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为()A．66＋2πB．66＋4πC．66－2πD．66－4π【解析】将三视图还原为直观图，可得该机械零件是由一个长方体及两个圆柱组合而成，其中圆柱的底面圆心与长方体侧面的中心重合，圆柱的母线与长方体左右侧面垂直，如图．由三视图可得，长方体的长、宽、高分别为3，3，4，两个圆柱的底面半径都为1，高都为1.所以该机械零件的表面积为长方体的表面积与两个圆柱侧面积之和．因为长方体的表面积为2×(3×3＋3×4＋3×4)＝66，两个圆柱的侧面积为2×2π×1×1＝4π，所以该机械零件的表面积为66＋4π.【答案】B(6)(2019·唐山三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6B．7C.152D.233【审题】该几何体是正方体削去了一个小三棱柱剩余部分，可以看作是五棱柱．【解析】V五棱柱＝S底·高＝正视图面积×侧视图宽＝(4－12)×2＝7.选B.【答案】B(7)(2019·湖南长郡月考)已知某几何体的外接球的半径为3，其三视图如图所示，图为正方形，则该几何体的体积为()A．16B.163C.83D．8【解析】由三视图可知该几何体是正四面体，如图中CAB1D1所示，其外接球即为正方体的外接球，由外接球的半径为3，得正方体的棱长为2，则正四面体的棱长为22，体积为212×(22)3＝83.【答案】C(8)如图，在边长为1的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图，已知该装饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是()A．棱长都为2的四面体B．棱长都为2的直三棱柱C．底面直径和高都为2的圆锥D．底面直径和高都为2的圆柱【解析】三视图对应的几何体是半径为1的球．对于A，记该四面体为四面体PABC，如图1，D是AB的中点，连接PD，CD，则PD＝CD＝3.记E是△ABC的重心，则E在CD上，DE＝33，连接PE，则PE＝263.设四面体PABC的内切球的半径为R，内切球的球心为O，易知O在PE上，连接OA，OB，OC，则由VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC＝VP－ABC，得4R＝263，即R＝661，所以A不满足题意．对于B，记该直三棱柱的下底面为△ABC，D为AB的中点，E为△ABC的重心，如图2，连接CD，则E在CD上，△ABC的内切圆半径为DE＝331，所以B不满足题意．对于C，如图3，其内切球的半径显然小于1，所以C不满足题意．对于D，如图4，易知其内切球的半径为1，所以D满足题意．故选D.【答案】D考