结构动力学复习题全解

结构动力学*本章讨论结构在动力荷载作用下的反应。**学习本章注重动力学的特征------惯性力。*结构动力计算的目的在于确定结构在动力荷载作用下的位移、内力等量值随时间变化的规律，从而找出其最大值作为设计的依据。*动力学研究的问题：动态作用下结构或构件的强度、刚度及稳定性分析。一、本章重点1．振动方程的建立2．振动频率和振型的计算3．振型分解法求解多自由度体系4．最大动位移及最大动应力二、基础知识1．高等数学2．线性代数3．结构力学三、动力荷载的特征1．大小和方向是时间t的函数例如：地震作用，波浪对船体的作用，风荷载，机械振动等2．具有加速度，因而产生惯性力四、动力荷载的分类1．周期性动力荷载例如：①机械运转产生的动力荷载，②打桩时的锤击荷载。P（t）P（t）tt（机械运转荷载）（打桩荷载）2．冲击荷载例如：①爆炸力产生的动力荷载，②车轮对轨道连接处的冲击。P（t）P（t）P（t）ttt（爆炸力动力荷载）（吊车起吊钢索的受力）（随机动力荷载）3．突加常量荷载例如：吊车起吊重物时钢索的受力。4．随机动力荷载前3类荷在是时间t的确定函数，称为确定性动力荷载；而地震作用，波浪对船体的作用，风荷载等其作用大小只能用统计的方法获得。五、动力荷载的计算方法1．原理：达朗贝尔原理，动静法建立方程2．计算工具：微分方程，线性代数，结构力学六、体系振动的自由度---------动力自由度结构具有质量，有质量在运动时就有惯性力。在进行动力计算时，一般把结构的质量简化为若干质点的质量，整个结构的惯性力就成为各质点的惯性力问题。1．质点简化的一般要求①简单，②能反映主要的振动特性例如：楼房；质量集中在各层楼板平面内水塔：质量集中在水箱部分梁：无限自由度集中质量mdx（无限自由度）（有限自由度）（楼房质量集中）（水塔质量集中）（梁的质量集中）2．位移y（t）即指质点的位移y（t），其加速度为y&&)(t3．动力自由度的确定即质点位移数量的确定。方法：附加链杆法，即附加链杆的最少的链杆数（独立个数）使所有质点不能发生位移。从以上确定动力自由度的例题中可以看出：①质点的个数与自由度的数目不一定相同②与结构是静定的还是超静定的没有确定的关系。4．从数学方面考虑振动位移以y（x，t）=∑=nkkktx1),(ja代表结构中位置x处在时刻t时的位移反应。式中，),(txkj为满足边界条件的一组正交函数，ka为待定系数，称为广义坐标。振型分解法的思想即源出于此。一、单自由度体系的振动方程本节概述单自由度体系振动方程的建立过程。基本原理是达朗贝尔原理，按动静法建立振动方程。考虑图示单质点的振动过程。杆件的刚度为EI，质点的质量为m,时刻t质点的位移y（t）。y(t)1.阻尼力P(t)FD=-C)(ty&，称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反。一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括EI①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失②周围介质对结构的阻尼（如，空气的紫力）③节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力④通过基础散失的能量2．弹性恢复力FE=-Ky(t)，K为侧移刚度系数，弹性恢复力与运动方向相反。3．惯性力FI=)(tym&&-，)(ty&&为质点运动加速度，惯性力与运动方向相反。4．动力荷载P(t)，直接作用在质点上，它与质点运动方向相同。5．振动方程的建立根据质点的受力平衡，写出平衡方程如下：FDFEFIP(t)FD+FE+FI+P(t)=0即，m)(ty&&+C)(ty&+Ky(t)=P(t)------------------（1）此方程为二阶常系数非齐次微分方程。二、建立单自由度体系的振动方程举例本节主要学习微分方程的建立方法、各系数的求法。例题1建立下列结构振动体系的振动方程。横梁具有无限刚性，EI=∞。已知，3112LEIK=，LEIK42=，阻尼系数为C，横梁具有分布质量Lmm=。K2ABEI=∞DEFGEI=∞CK1K1LLLLL解：1）动力自由度为1，设E处的竖向位移是y(t)xxEdxmGAdxmEy(t)y(t)RK1y(t)/2RC)(ty&/32K1y(t)/3图（a）图（b）2)考虑EFG部分的受力，取研究对象如图（a）所示；由∑MG=0得：R•2L+K1Lty⋅2)(+xLtxydxmL⋅′′∫)2)((20=0----------------（a）3）考虑ABDE部分的受力，取研究对象如图（b）所示由∑MA=0得：R•3L–K1LLty2)(2⋅–CLty⋅)(31&–K2Lty3)(–xxLtydxmL⋅′′⋅∫)3)((30=0--------（b）由（a），（b）两式消去R后整理得：15L4)(tym&&+CL3)(ty&+79EI)(ty=0注意：振动方程中的)(ty仅仅是动力作用下产生的，不包括静位移。可人为)(ty是从静平衡位置算起的。以后，我们也只计算动位移。如下图所示的振动mysydy(t)则，质点m上，1）重力W2）弹性力–Ky(t)=-k（ys+yd）3）惯性力-m)(ty&&=-m（)dsyy&&&&+平衡方程：m（)dsyy&&&&++k（ys+yd）=W注意到：ys为静位移，则W=kys及sy&&=0，上式为mdy&&+kyd=0这表明：以静平衡位置作为计算位移的起点，所得的方程与重力无关（对有阻尼振动及强迫振动也适用。例题2试建立图示结构的振动方程，质点的质量都是myyPsinθtEI=常数LL解：1）动力自由度为1，即质点（两个）的水平位移（忽略转动惯量及杆件的轴向变形）2）惯性力：-2m)(ty&&；弹性力：-K)(ty3）侧移刚度K的求法用位移法计算质点有侧移为1时的力K，取半结构如图示，用剪力静定杆办法求解1K/26i/Lir11RP6i如图，RP=-Li6，r11=7i位移法方程：r11θ+RP=0，解得：θ=L76作出弯矩图如下：BK/236i/7L2VBA48i/7L2A取横梁为研究对象，ΣX=0，得：K=324LEI4）振动方程-2m)(ty&&-K)(ty+Psinθt=0即，2m)(ty&&+324LEI)(ty=Psinθt一、无阻尼的自由振动振动方程)(tym&&+K)(ty=0，写作：)(ty&&+mK)(ty=0，记ω2=mK又可写作：)(ty&&+ω2)(ty=0---------------------------------------------（1）方程的解的形式为：)(ty=Acosωt+Bsinωt---------------------------------------------（2）初始条件为：00)(ytyt==，00)(vtyt==&，代入方程的解（2）中，得：)(ty=0ycosωt+w0vsinωt---------------------------------------------（3）二、有阻尼的自由振动振动方程)(tym&&+C)(ty&+K)(ty=0，写作：)(ty&&+mC)(ty&+mK)(ty=0，记ω2=mK，2n=mC，又可写作：)(ty&&+2n)(ty&+ω2)(ty=0---------------------------------------------（4）利用常数变易法，令)(ty=)(tSent-代入方程（4）中得：)(tS&&+（ω2–n2）S(t)=0--------------------------------------------（5）1．当nω时（强阻尼）方程（5）的解为：S(t)=A1shtn22w-+A2chtn22w-从而，方程（4）的解为：)(ty=)(tSent-=nte-（A1shtn22w-+A2chtn22w-）---------------------（6）2．n=ω时（称为临界阻尼）由（5）式得：)(tS&&=0S(t)=B1+B2t)(ty=)(tSent-=nte-（B1+B2t）-------------------------------------（7）此时，令ncr=ω=mCcr2，Ccr=2mω（此式为确定临界阻尼的公式）当为一般情况时，n=mC2=mCCCcrcr2⋅=ξω式中，ξ=crCC称为阻尼比。对钢筋混凝土结构ξ5%，一般取3%对钢结构ξ=1%—2%3）当nω时（弱阻尼）此时，记2dw=22n-w，则（5）式可写成：)(tS&&+2dwS(t)=0则，其解可仿（1），（2）式的形式，得：S(t)=Acosωdt+Bsinωdt从而，)(ty=nte-（Acosωdt+Bsinωdt）)(ty=texw-（Acosωdt+Bsinωdt）-----------------------------------（8）初始条件：00)(ytyt==，00)(vtyt==&，代入方程的解（8）中，写成简洁的形式：)(ty=Atexw-sin（ωdt+φ）三、无阻尼的强迫振动振动方程：)(tym&&+K)(ty=P（t）1．瞬时冲击荷载作用时的强迫振动特点：①作用时间与系统的自振周期相比很小P（t）②Δt时间内P（t）可视为常数设干扰力P（t）作用于系统的时间为Δtt由动量定理：Δtm（v-v0）=P（t-t0）若t0=0时v0=0则，v=mpt于是，在（0，t）时间内系统产生的位移反应)(ty为：)(ty=dtmptt∫0=mpt22由假设，干扰力作用的时间为Δt，则Δt时间内系统产生的速度反应和位移反应分别为：)(tv=mtpΔ，)(ty=mtp2)(2Δ)(ty和)(tv比较是高阶无穷小量，故可认为：Δt时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为)(tv=mtpΔ，初位移为)(ty=mtp2)(2Δ=0的自由振动。由（3）式可知：)(ty=0ycosωt+w0vsinωt=wmtpΔsinωt---------------------（9）若时间t不是从0开始，而是从τ开始的，则（9）式写为：)(ty=wmtpΔsinω（t-τ）---------------------------------------（10）2．一般性动力荷载P（t）作用于系统时考虑P（t）在（0，t）时间内作用于系统，P（t）认为是由无数个瞬时冲击荷载的叠加，如图。考虑由时刻τ开始，在dτ时间内的位移反应，由（10）式可得：0ττ+dτtd)(ty=wttmdp)(sinω（t-τ）则，在（0，t）时间内作用于系统，系统所产生的位移反应为：)(ty=∫tmdp0)(wttsinω（t-τ）----------------------------------------（11）此式称为杜哈美积分（卷积、褶积）如果叠加自由振动部分，可得位移反应：)(ty=0ycosωt+w0vsinωt+∫tmdp0)(wttsinω（t-τ）---------------------------（12）但，通常情况下，自由振动部分由于阻尼的存在，一段时间后会消失而仅剩下特解部分。3．突加长期常量荷载以P（t）=P代入（11）式可得：)(ty=2wmp（1-cosωt）=Kp（1-cosωt）P（t）=P=d⋅p（1-cosωt）=sy（1-cosωt）--------（13）t式中，sy=d⋅p为静位移。显然，maxy=2sy定义：μ=syymax为动力系数。故，突加长期常量荷载的动力系数为24．突加短期常量荷载P（t）t1t10当0≤t≤t1时，由（13）式得：)(ty=sy（1-cosωt）------------------（14）20当t1≤t时，可看作是一个叠加的过程。由（13）式得：)(ty=sy（1-cosωt）-sy[1-cosω（t-t1）]=2sysin21twsin)2(1tt-w--------------------（15）讨论：①当maxy发生时，sin21tw=1，得：t1=2T（T为系统的自振周期）。故，当t1≥2T时，最大位移（此时，t1=2T）maxy=2sy②当t12T时，最大位移maxy=2sysin21tw5．简谐动力荷载以P（t）=Ps