-2014——2017竞赛中的解析几何问题-解析几何试题集萃

2014——2017全国高中数学联赛各地预赛中的解析几何试题集萃（2017天津）3.将曲线2logyx沿x轴正方向移动1个单位，再沿y轴负方向移动2个单位，得到曲线C，则与C关于直线0xy对称的曲线的方程为_____________.（2017天津）9.设F是椭圆22221(0)xyabab的左焦点，A是该椭圆上位于第一象限的一点.过A作圆222xyb的切线，切点为P，则||||AFAP___________.（2017天津）13.设直线12:3,:3,lyxlyx点A和点B分别在直线1l和2l上运动，且2OAOB.（1）求线段AB的中点M的轨迹.（2）设点(2,0)P关于直线AB的对称点为Q，证明：直线MQ过定点.（2017河北）2.已知22,,2312xyRxy，则|2|xy的最大值为___________.（2017河北）5.双曲线22:2Cxy的右焦点为F，P为其左支上任意一点，点A的坐标为(1,1)，则AFP周长的最小值为___________.（2017河北）13.设椭圆22154xy的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C.曲线C的两条切线,PAPB的交点为P，且与C分别切于,AB两点，求PAPB的最小值.（2017山西）5.直线2ykx交抛物线28yx于,AB两但，若线段AB中点的横坐标为2，则线段AB的长度为____________.（2017辽宁）9.已知12,FF分别为椭圆2222:1(0)xyabab的左、右焦点，12||2,FFA为的右顶点，直线l过点A且垂直于x轴，P为直线l上一动点，若12FPF的最大值为4，则此时点P的坐标为____________.（2017辽宁）13.已知椭圆22:14xCy的上顶点为M，下顶点为N，(,2)Tt（0t）为直线2y上一点，过点T的直线TM、TN分别与椭圆C交于,EF两点.若TMN的面积是TEF的面积的k倍.问：当t为何值时，k为最大值?（2017年山东）11.实数,(1,)xy，且210xyxy，求2232xy的最小值.（2017年山东）13.已知椭圆经过点61(,)22P，离心率为22，动点(2,)(0)Mtt.（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM为直径且被直线3450xy解得的弦长为2的圆的方程.（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值.（2017年福建）6．已知P为双曲线C：221412xy上一点，1F、2F为双曲线C的左、右焦点，M、I分别为12PFF△的重心、内心，若MIx轴，则12PFF△内切圆的半径为。（2017年福建）12．已知椭圆C：22221xyab（0ab）过点(21)P，，且离心率为22。过点P作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点（A、B与点P不重合）。求证：直线AB过定点，并求该定点的坐标。（2017江西）4.若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率为_______.（2017湖北）9.过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于,MN两点，(,0)Em为x轴上一点，,MENE的延长线分别交抛物线于点,PQ.若,MNPQ的斜率12,kk满足123kk，则实数m的值为__________.（2017湖北）12.过抛物线22yx的焦点F的直线l交抛物线,AB两点，抛物线在,AB两点处的切线交于点.E（I）求证：EFAB.（2）设AFFB，当11[,]32，求ABE的面积S的最小值.（2017四川）4.已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，该椭圆上存在两点,AB，使得123FAFB,则该椭圆的离心率的取值范围为______________.（2017四川）9.若(,)Pxy是双曲线22184xy上的点，则||xy的最小值为___________.（2017四川）15.如图，点A与点'A在x轴上，且关于y轴对称，过点'A垂直于x轴的直线与抛物线22yx交于两点,BC,点D为线段AB上的动点，点E在线段AC上，满足||||||||CEADCAAB.（1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点.（2）设直线DE与抛物线的公共点为,F记BCF与ADE的面积分别为12,SS,求12SS的值.（2017陕西）4.如图，已知椭圆2222:1(0)xyEabab，圆222:Oxya与y轴正半轴于点,B过点B的直线与椭圆E相切，且与圆O交于另一点,A若60AOB，则椭圆E的离心率为___________.（2017陕西）7.设集合*2{|},{|45}3nAnNByyxx，则集合AB中元素的个数为______.（2017陕西）8.设0,xy若存在实数,ab满足0,0axby，则222222()()+xaybxbya，则xy的最大值为___________.（2017陕西）14.已知抛物线2:Eyx的焦点为,F过y轴正半轴上一点M的直线l与抛物线E交于,AB两点，O为坐标原点，且2OAOB.（1）求证：直线l过定点；（2）设点F关于直线OB的对称点为C，求四边形OABC面积的最小值.（2017甘肃）7.已知正数,ab满足21,ab则2244abab的最大值为____________.（2017甘肃）10.已知双曲线22221(0,0)xyabab，12,AA是实轴的顶点，F是右焦点，(0,)Bb是虚轴的端点.若线段BF上（不含端点）存在不同的两点(1,2)iPi，使得12(1,2)iPAAi构成以12AA为斜边的直角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为_____________.（2017甘肃）15.设向量,ij为平面直角坐标系中,xy轴正方向上的单位向量，若向量(2),(2),axiyjbxiyj且||||2ab.（I）求满足条件的点(,)Pxy的轨迹方程.（II）设(1,0),(2,0)AF，问是否存在常数0,使得PFAPAF恒成立？证明你的结论.（2017江苏）4.在平面直角坐标系xOy中，设12,FF分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，M是2PF的中点，且212,34OMPFPFPF,则双曲线的离心率为_____________.（2017江苏）12.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2222:1(0)xyEabab,直线:30lxya，若椭圆E的离心率为32，原点O到直线l的距离为32.（1）求椭圆E与直线l的方程.（2）若椭圆E上三点,(0,),(,0)PAbBa到直线l的距离分别为123,,ddd.求证：123,,ddd可以是某三角形三条边的边长.（2017贵州）4.已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，对称轴与准线的交点为,TP为抛物线C上任意一点，当||||PFPT取最小值时，PTF等于___________.（2017贵州）17.已知ABC的三个顶点在椭圆221124xy，坐标原点O为ABC的重心，试求ABC的面积.（2017安徽）6.过椭圆2223xy的一个焦点作斜率为k的直线，交椭圆于,AB两点，若||2AB,则||k_____________.（2017浙江）7、已知动点,,PMN分别在x轴上、圆22(1)(2)1xy和圆22(3)(4)3xy上，则||||PMPN的最小值为________________.（2017浙江）12、已知椭圆22162xy的右焦点为F，过F的直线(2)ykx的直线l交椭圆于,PQ两点（0k）.若PQ的中点为,NO为原点，直线ON交直线3x于点M.（I）求MFQ的大小；（II）求||||PQMF的最大值.（2017湖南）16．如图所示，AB是椭圆221mxny（0mn，mn）的斜率等于1的弦，AB的垂直平分线与椭圆交于两点C，D，设CD的中点为F，CD交AB于点E.（1）求证：2224CDABEF；（2）求证：四点A，B，C，D共圆.（2017新疆）10.已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为1,2椭圆短轴的上、下端点分别为,AB，以A为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与椭圆交于,CD两点，CD的中点的横坐标为633.（1）求椭圆的方程；（2）直线l过椭圆的右焦点F且不垂直于x轴，l与椭圆交于,MN两点，设点N关于x轴的对称点为'N.问直线'MN是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则说明理由.（2017全国）3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为221910xy，F是C的上焦点，A为C的右顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为___________.（2017全国）11.设复数12,zz满足12Re()0,Re()0,zz且2212Re()Re()2zz（其中Re()z表示复数z的实部）.（1）求12Re()zz的最小值.（2）求1212|2||2|||zzzz的最小值.（2017内蒙古）9.过抛物线22(0)ypxp的焦点F作弦BC，若BC的中垂线交BC于M，交x轴于N，求证：2||||||MNFCFB.（2017上海）7.在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,3),(2,3)AB及圆222:()(1)152aCxax，若线段AB（包括端点）在圆C的外部，则实数a的取值范围为____________.（2016天津）7.椭圆221xky与双曲线22145xy有相同的准线，则k____167_______.（2016天津）14.设a实数，两条抛物线2yxxa与243xyya有四个交点.（I）求实数a的取值范围；（II）证明四个交点共圆，并求该圆圆心的坐标.（2016河北）7.实数,xy满足223xyxy，则22xy的取值范围为____________.（2016河北）13.过椭圆22154xy的右焦点F作两条垂直的弦,ABCD，设,ABCD的中点为,MN。(I)证明：直线MN必经过定点，求此定点坐标.(II)若,ABCD的斜率均存在，求FMN面积的最大值.（2016山西）7.若椭圆两准线之间的距离为两焦点之间的距离的两倍，则其离心率e__________.（2016山西）10.设直线2yx与椭圆22221(0)xyabab交于点,MN，且OMON（O为坐标原点）.若||6MN,求椭圆的方程.（2016辽宁）14.设,,ABC为抛物线2yx上不同的点，R为ABC的外接圆的半径,求R的取值范围.（2016吉林）15．已知椭圆22182xy的右顶点为C，A为第一象限内的椭圆周上任意一点，点A关于原点的对称点为B，过点A作x轴的垂线交BC于D，比较2||AC与||||CDCB的大小，并给出证明．（2016山东）11.已知椭圆2222:1(0)xyEabab，过椭圆左焦点(,0)(0)Fcc的直线l交椭圆于,AB两点，线段AB的垂线平分线交椭圆于,CD两点，若ACAD，试求直线l的方程.（2016福建）6．已知直线l过椭圆C：2212xy的左焦点F且交椭圆C于A、B两点。O为坐标原点，若OAOB，则点O到直线AB的距离为。（2016福建）14．如图，1F、2F为双曲线C：2214xy的左、右焦点，动点00()Pxy，（01y）在双曲线C上的右支上。设12FPF的角平分线交x轴于点(0)Mm，，交y轴于点N。（1）求m的取值范围；（2）设过1F，N的直线l交双曲线C于