高中数学导数的计算精选题目(附答案)

高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝α·xα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlna(a＞0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝1x(2)导数运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．③fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．（3）复合导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lgx；(3)y＝log12x；(4)y＝4x3；(5)y＝sinx2＋cosx22－1.2．求下列函数的导数：(1)y＝1ex；(2)y＝110x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lg3x；(5)y＝2coS2x2－1.3.(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－Sinx2coSx2；(3)y＝x2＋log3x;(4)y＝ex＋1ex－1.4．求下列函数的导数：(1)y＝cosxx；(2)y＝xSinx＋x；(3)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x；(4)y＝lgx－1x2.5．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．6．求过曲线y＝coSx上点Pπ3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数．(1)y＝1－2x2；(2)y＝eSinx；(3)y＝Sin2x＋π3；(4)y＝5log2(2x＋1)8．求下列函数的导数．(1)f(x)＝(－2x＋1)2；(2)f(x)＝ln(4x－1)；(3)f(x)＝23x＋2；(4)f(x)＝5x＋4；(5)f(x)＝Sin3x＋π6；(6)f(x)＝coS2x.9．求下列函数的导数．(1)y＝x1＋x2；(2)y＝xcoS2x＋π2Sin2x＋π2.10．求下列函数的导数．(1)y＝Sin2x3；(2)y＝Sin3x＋Sinx3；(3)y＝11－x2；(4)y＝xln(1＋x)．11.设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝32x在(0,0)点相切．求a，b的值．12．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D．1参考答案：1.解：(1)y′＝(10x)′＝10xln10.(2)y′＝(lgx)′＝1xln10.(3)y′＝(log12x)′＝1xln12＝－1xln2.(4)y′＝(4x3)′＝(x34)′＝34x－14＝344x.(5)∵y＝sinx2＋cosx22－1＝Sin2x2＋2Sinx2coSx2＋coS2x2－1＝Sinx，∴y′＝(Sinx)′＝coSx.2.解：(1)y′＝1ex′＝1exln1e＝－1ex＝－e－x.(2)y′＝110x′＝110xln110＝－ln1010x＝－10－xln10.(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0.(4)∵y＝3lg3x＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝1xln10.(5)∵y＝2coS2x2－1＝coSx，∴y′＝(coSx)′＝－Sinx.3.解：(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－12Sinx，∴y′＝x′－12(Sinx)′＝1－12coSx.(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1xln3.(4)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝exex－1－ex＋1exex－12＝－2exex－12.4.解：(1)y′＝cosxx′＝cosx′·x－cosx·x′x2＝－x·sinx－cosxx2＝－xsinx＋cosxx2.(2)y′＝(xSinx)′＋(x)′＝Sinx＋xcoSx＋12x.(3)∵y＝1＋x21－x＋1－x21－x＝2＋2x1－x＝41－x－2，∴y′＝41－x－2′＝－41－x′1－x2＝41－x2.(4)y′＝lgx－1x2′＝(lgx)′－1x2′＝1xln10＋2x3.5.解：如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.6.解：∵y＝coSx，∴y′＝(coSx)′＝－Sinx，∴曲线在点Pπ3，12处的切线的斜率为k＝y′|x＝π3＝－Sinπ3＝－32，∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y－12＝233x－π3，即233x－y＋12－239π＝0.7.解：(1)设y＝u12，u＝1－2x2，则y′＝u12′(1－2x2)′＝12u－12·(－4x)＝12(1－2x2)－12(－4x)＝－2x1－2x2.(2)设y＝eu，u＝Sinx，则yx′＝yu′·ux′＝eu·coSx＝eSinxcoSx.(3)设y＝Sinu，u＝2x＋π3，则yx′＝yu′·ux′＝coSu·2＝2coS2x＋π3.(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝10uln2＝102x＋1ln2.8.解：(1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则y′＝yu′·ux′＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.(2)设y＝lnu，u＝4x－1，则y′＝yu′·ux′＝1u·4＝44x－1.(3)设y＝2u，u＝3x＋2，则y′＝yu′·ux′＝2uln2·3＝3ln2·23x＋2.(4)设y＝u，u＝5x＋4，则y′＝yu′·ux′＝12u·5＝525x＋4.(5)设y＝Sinu，u＝3x＋π6，则y′＝yu′·ux′＝coSu·3＝3coS3x＋π6.(6)法一：设y＝u2，u＝coSx，则y′＝yu′·ux′＝2u·(－Sinx)＝－2coSx·Sinx＝－Sin2x；法二：∵f(x)＝coS2x＝1＋cos2x2＝12＋12coS2x，所以f′(x)＝12＋12cos2x′＝0＋12·(－Sin2x)·2＝－Sin2x.9.解：(1)y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x21＋x2.(2)∵y＝xcoS2x＋π2Sin2x＋π2＝x(－Sin2x)coS2x＝－12xSin4x，∴y′＝－12xsin4x′＝－12Sin4x－x2coS4x·4＝－12Sin4x－2xcoS4x.10.解：(1)y′＝sin2x3′＝2Sinx3·sinx3′＝2Sinx3·coSx3·x3′＝13Sin2x3.(2)y′＝(Sin3x＋Sinx3)′＝(Sin3x)′＋(Sinx3)′＝3Sin2xcoSx＋coSx3·3x2＝3Sin2xcoSx＋3x2coSx3.(3)y′＝0－1－x2′1－x2＝－121－x2－121－x2′1－x2＝x1－x2－121－x2＝x1－x21－x2.(4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[]ln1＋x′＝ln(1＋x)＋x1＋x.11.解：由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝1x＋1＋12x＋1＋a，则f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a＝32，故a＝0.12.解析：选A依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是23，23，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.