沪教版中考复习：一模复习之平面向量与相似三角形

1/18在九年级数学上学期第一章中，我们学习了相似三角形和平面向量的线性运算两个方面的内容，这两部分的知识点是一模考中的重点部分，除去填空题和选择题，在大部分区县的解答题中，相关分值大约在20分~30分，题型分布为1题关于向量的，1-2题关于相似三角形，位于解答题19题~23题之间，也是同学们必须要取得满分的题目．我们整理了近两年解答题中的相关题目，希望同学们勤加练习．平面向量主要考察向量加法、实数与向量相乘的有关规律，以及向量的线性运算和化简．难点是向量的线性表示．平面向量与相似三角形内容分析知识结构模块一：平面向量考点分析2/18ABCDEOGABCDEO【例1】（2015学年·杨浦区一模·第19题）如图，已知两个不平行的向量a、b．先化简，再求作：13(3)()22abab．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【难度】★★【答案】【解析】【例2】（2015学年·闸北区一模·第21题）如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E是边BC的中点，联结DE交AC于点G．设AD=a，DC=b．（1）试用a、b表示向量OC；（2）试用a、b表示向量DG．【难度】★★【答案】【解析】【例3】（2014学年·长宁区一模·第20题）如图，已知O为ABC内的一点，点D、E分别在边AB、AC上，且13ADDB，14AEAC．设OBm，OCn，试用m，n表示DE．【难度】★★【答案】【解析】例题解析3/18ABCDEABCDMABCDEF【例4】（2015学年·徐汇区一模·第21题）如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，34ADAB，3AE，1CE，6BC．（1）求DE的长；（2）过点D作DF//AC交BC于F，设ABa，BC=b，求向量DF（用向量a、b表示）．【难度】★★【答案】【解析】【例5】（2015学年·普陀区一模·第19题）已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，13ADBC，点M是边BC的中点，ADa，bAB．（1）填空：BM，MA．（结果用a、b表示）（2）直接在图中画出向量2ab．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【难度】★★【答案】【解析】【例6】（2015学年·崇明县一模·第20题）已知：如图，□ABCD中，E是AD中点，BE交AC于点F，设BAa、BCb．（1）用a，b的线性组合表示FA；（2）先化简，再直接在图中求作该向量：1151()()()2424ababab．【难度】★★【答案】【解析】4/18ABCDEABCDEABCDPQR【例7】（2014学年·奉贤区一模·第21题）如图，在ABC中，AB=AC=12，DC=4，过点C作CE//AB交BD的延长线于点E，ABa，BCb．（1）求BE；（用向量a、b的式子表示）（2）求作向量12BDAC．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【难度】★★【答案】【解析】【例8】（2014学年·浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模·第20题）如图，已知在ABC中，AD是边BC上的中线．设BAa，BCb．（1）求AD（用向量a、b的式子表示）；（2）如果点E在中线AD上，求作BE在BA、BC方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）【难度】★★【答案】【解析】【例9】（2015学年·闵行区一模·第21题）如图，已知四边形ABCD中，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设BCa，ADb．（1）试用a、b的线性组合表示向量PQ；（需写出必要的说理过程）（2）画出向量PQ分别在a、b方向上的分向量．【难度】★★【答案】【解析】5/18ABCDEFGABCDENM相似三角形主要考察平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，以及其综合应用．难点是灵活运用相关定理解决有关问题．【例10】（2015学年·浦东新区一模·第21题）如图，梯形ABCD中，AD//BC，点E是边AD的中点，联结BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G．（1）若2FD，13EDBC，求线段DC的长；（2）求证：EFGBBFGE．【难度】★★【答案】【解析】【例11】（2014学年·徐汇区一模·第22题）如图，MN经过ABC的顶点A，MN//BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．（1）求证：DE//BC；（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．【难度】★★【答案】【解析】模块二：相似三角形例题解析考点分析6/18ABCDEFABCDEFGHDABCEFG12【例12】（2014学年·虹口区一模·第21题）如图，在ABC中，点D在边AC上，AE分别交线段BD、边BC于点F、G，12，AFDFEFBF．求证：2BFFGEF．【难度】★★【答案】【解析】【例13】（2015学年·崇明县一模·第21题）如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，25DEEF，14AC．（1）求AB、BC的长；（2）如果7AD，14CF，求BE的长．【难度】★★【答案】【解析】【例14】（2015学年·虹口区一模·第21题）如图，DC//EF//GH//AB，AB=12，CD=6，DE:EG:GA=3:4:5．求EF和GH的长．【难度】★★【答案】【解析】7/18ABCPABCPABCDEFGNABCDEFG【例15】（2015学年·嘉定区一模·第20题）如图，已知ABC中，ABAC，6BC，BC边上的高4AN，直角梯形DEFG的底EF在BC边上，4EF，点D、G分别在边AB、AC上，且DG//EF，GFEF，垂足为F，设GF的长为x，直角梯形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．【难度】★★【答案】【解析】【例16】（2015学年·普陀区一模·第22题）如图，已知有一块面积等于12002cm的三角形铁片ABC，已知底边BC与底边上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形铁片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．【难度】★★【答案】【解析】【例17】（2014学年·金山区一模·第20题）如图，ABC中，PC平分ACB，PBPC．（1）求证：APC∽ACB；（2）若2AP，6PC，求AC的长．【难度】★★【答案】【解析】【例18】（2015学年·长宁区、金山区一模·第21题）已知ABC中，60CAB，P为ABC内一点且120APBAPC，求证：2APBPCP．【难度】★★【答案】【解析】8/18ABCDEABCDEABCDEABCDEF【例19】（2015学年·奉贤区一模·第23题）已知：在梯形ABCD中，AD//BC，ABBC，AEBADC．（1）求证：ADE∽DBC；（2）联结EC，若2CDADBC，求证：DCEADB．【难度】★★【答案】【解析】【例20】（2015学年·普陀区一模·第23题）已知：如图，在四边形ABCD中，ADBACB，延长AD、BC相交于点E，求证：（1）ACE∽BDE；（2）BEDCABDE．【难度】★★【答案】【解析】【例21】（2015学年·虹口区一模·第23题）如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，BAECBDDAC．（1）求证：DEABBCAE；（2）求证：180AEDADC．【难度】★★【答案】【解析】【例22】（2015学年·徐汇区一模·第23题）如图，在ACB中，ACBC，点D在边AC上，ABBD，BEED，且CBEABD，DE与CB交于点F．求证：（1）2BDADBE；（2）CDBFBCDF．【难度】★★【答案】【解析】9/18ABCDEFABCDEFGABCDEF【例23】（2015学年·静安区一模·第23题）已知：如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD与CE相交于点F，2AEEFEC．（1）求证：ADCDCEEAF；（2）求证：AFADABEF．【难度】★★【答案】【解析】【例24】（2014学年·浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模·第23题）已知：如图，D是ABC的边AB上一点，DE//BC，交边AC于点E，延长DE到点F，使得EF=DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF．（1）求证：AEEGACCG；（2）如果2CFFGFB，求证：CGCEBCDE．【难度】★★【答案】【解析】【例25】（2014学年·普陀区一模·第23题）如图，已知在ABC中，90ACB，点D在边BC上，CEAB，CFAD，E、F分别是垂足．（1）求证：2ACAFAD；（2）联结EF，求证：AEDBADEF．【难度】★★【答案】【解析】10/18ABCDEFGABCDEFABCD【例26】（2014学年·徐汇区一模·第23题）已知菱形ABCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F．（1）求证：2AGGEGF；（2）如果12DGGB，且AGBF，求cosF．【难度】★★【答案】【解析】【例27】（2014学年·闸北区一模·第23题）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，BAEDBC．（1）求证：ABE∽BCD；（2）求tanDBC的值；（3）求线段BF的长．【难度】★★【答案】【解析】【例28】（2015学年·宝山区一模·第23题）如图，D为ABC边AB上一点，且CD分ABC为两个相似比为1:3的一对相似三角形．（不妨如图假设左小右大）求：（1）BCD与ACD的面积比；（2）ABC的各内角度数．【难度】★★【答案】【解析】11/18ABCEFGABCDEFGH【例29】（2014学年·虹口区一模·第23题）如图，在RtCAB与RtCEF中，90ACBFCE，CABCFE，AC与EF相交于点G，BC=15，AC=20．（1）求证：CEFCAF；（2）若AE=7，求AF的长．【难度】★★【答案】【解析】【例30】（2014学年·宝山区一模·第24题）如图，正方形ABCD中，（1）E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB、AE、CD于G、F、H，求GFFH的值；（2）E的位置改为边BC上一动点，且BEkEC，其它条件不变，求GFFH的值．【难度】★★【答案】【解析】12/18ABCDENMABCDO【习题1】（2014学年·宝山区一模·第20题）如图已知M、N分别是平行四边形ABCD边DC、BC的中点，射线AM和射线BC相交于E，设ABa，ADb，试用a，b表示AN，AE．【难度】★★【答案】【解析】【习题2】（2014学年·黄浦区一模·第19题）如图，已知两个不平行的向量a、b．（1）化简：23abab；（2）求作c，使得12cba．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【难度】★★【答案】【解析】【习题3】（2014学年·普陀区一模·第20题）如图，已知AB//CD，AD与BC相交于点O，且23ABCD．（1）求AOAD的值；（2）如果AOa，请用a表示DA．【难度】★★【答案】【解析】随堂检测13/18ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFGPQ【习题4】（2015学年·崇明县一模·第20题）已知，□ABCD中，点E在DC边上，且3DEEC，AC与BE交于点F．（1）如果ABa，ADb，那么请用a，b来表示AF；（2）在原图中求作向量AF在AB、AD方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【难度】★★【答案】【解析】【习题5】（2015学年·杨浦