第二章平面问题的复变函数解法-2009

1第二章平面裂纹问题的复变函数解法第1节绪论如果二元实变函数yxU,在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace）方程02U22222yx则称yxU,为区域D内的调和函数。弹性力学的分析表明,平面问题可以归结为求解满足双调和方程022U的应力函数U，并使其在边界上满足全部边界条件。双调和方程022U的解U为双调和函数。在数学中，复变解析函数的实部和虚部均为调和函数(满足02U)。而利用复变解析函数来讨论含孔、裂纹等结构的平面问题比较方便。1．复变函数的基础知识复数aib1i为虚单位复变数（量）iyxz实变数x和y分别称为复变数z的实部和虚部，记为：zxRe，zyIm则有：zizzImRe(2-1-1)z的极坐标形式为2sincosirzirez的共轭复数ireiriyxzsincos复变函数以复变量iyxz为自变量的函数,称为复变函数。复变函数也可以看成是由它的实部fRe和虚部fIm所组成，有：()ReImfzfifpiqiqpfifzfImRe(2-1-2)例如22222yixyxiyxzzf则有22Reyxfp，xyfq2Im几何上，可以将函数zf看成复数平面z上的点),(yx到另一复数平面W上的点),(qp的变换,变换关系如图2-1-1所示。p(p,q)qW00yxz(x,y)图2-1-1复数平面变换图复变函数的导数设复变函数)(zf在某一点的领域内有定义，取z为复值增量，若zzfzzfLimz0(2-1-3)极限存在，则)(zf在点z处可导，并记为zf'，即zf'为)(zf在点z处的导数。3注意在复变函数可导的定义中，0z的方式应该是任意的，定义式（2-1-3）极限值存在的要求与0z的方式无关。复变函数)(zf的实部fRe和虚部fIm对x，y足够高阶的偏导数，还不能说明极限式（2-1-3）一定存在。例如33ImRe)(iyxfifzf若取xz，则xiyxiyxxLimzzfzzfLimxz33330023220330333xxxxxxxLimxxxxLimxx若取yiz，则233003yyiiyyyiLimzzfzzfLimyz可见，当z取不同值时，（2-1-3）式所示的极限并不相等，说明此极限并不存在。由复变函数可导定义的这一特点出发，可导出复变函数可导的充分与必要条件。设fRe和fIm在区域D内有对yx,的一阶连续偏导数，则函数zf在D内一点z处可导的充分与必要条件为yfxfImRe（2-1-4）yfxfReIm（2-1-5）这一条件称为柯西—黎曼（Cauchy—Riemann）条件。事实上，若取xz，则有4xfixfzzfzzfLimzfzImRe'0（2-1-6）证明：设fzpiq（ReImpfqf）0y，xzxiyxfxiyxfLimzfz0'xyxiqyxpxyxxiqyxxpLimz,,,,0xyxiqyxxiqxyxpyxxpLimz,,,,0xyxqyxxqLimixyxpyxxpLimzz,,,,00xqixp再取yiz，有yfiyfzzfzzfLimzfzReIm'0（2-1-7）为使导数存在，上述两个极限必须相等，即得（2-1-4）、（2-1-5），由此证明了必要条件，充分条件证明从略。由（2-1-6）、（2-1-7）两式，可以直接得到复变函数对z的导数的实部和虚部与复变解析函数的实部和虚部对x，y的偏导数之间的以下重要关系：yfxffImRe'Re（2-1-8）yfxffReIm'Im（2-1-9）解析函数xfixfImRe5在iyxz平面的域D中，函数zf称为解析的需要满足以下条件，即在域D内任意一点，可用极限方法决定其导数，而且导数是唯一的，与z趋于零的路线无关。换句话说，如果函数zf在0z及0z的领域内处处可导，则称zf在0z解析，如果zf在区域D内的每一点解析，则称zf为D内的解析函数。如果zf在0z不解析,那么称0z为zf的奇点。复变解析函数的调和性如果二元实变函数yxU,在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace）方程02U则称yxU,为区域D内的调和函数。从柯西—黎曼条件出发，可以证明，复变解析函数的实部fRe和虚部fIm都满足调和方程，所以都是调和函数。将（2-1-4）式对x求偏导，（2-1-5）式对y求偏导，相加后得：222222ReImImRe0ffffyxyxxy有：0ReReRe22222fyfxf将（2-1-5）式对x求偏导，（2-1-4）式对y求偏导，相减后得：0ImImIm22222fyfxf（2-1-10）将使iqp构成区域内解析函数的调和函数yxq,称为yxp,的共轭调6和函数。调和函数与双调和函数之间具有下列关系：1)若fRe是一个调和函数，它必然是一个双调和函数。这是因为若0Re2f成立，则0Re22f必然成立。2)若fRe是一个调和函数，则fxRe，fyRe，frRe2都是双调和函数(式中极坐标222yxr)。证明：fyxfxxfxyxfxReReReRe222222222fyxfxxfxReReRe22fyxfxxfxReReRe22222'Re2ReRe22ffxxf（用到2-1-8式）222Re2Re'0xff（用到下面定理，'f解析）复变函数的导数与积分若zf在区域D内解析，那么zf在D内存在任意阶导数，且所有的导数都是解析的。解析函数的导数与积分均为解析函数。复变函数zf对于复变数z的导数、积分等运算规则与一般实函数的运算规则相同。取一个复变解析函数zf，其一阶导数为zf，则dzzfdzfdzzfzf7类似地，令zf为zf的一阶导数，zf'为zf的一阶导数，则dzzfdzfdzzdfzf'由（2-1-8）、（2-1-9）式可知yfxffImReReyfxffReImIm等等。2．双调和函数的Muskhelishvili复应力函数表示可以用两个解析函数表示满足双调和函数022U的解U，引进PU2，则因为0222UP，P为调和函数。设Q为P的共轭调和函数，即P与Q之间满足柯西—黎曼条件，则yxiQyxPzf,,（2-1-11）是所讨论区域上的解析函数。再设dzzfyxiqyxpz41,,（2-1-12）由解析函数性质可知，z也是一个解析函数。对yxxp,和yxyq,作用Laplace算子xpxp22，yqyq22（2-1-13）由（2-1-6）式及（2-1-11）、（2-1-12）式，可得8iQPzfxqixpz4141'由上式及柯西—黎曼条件，可得yqxpP4144pqPxy或者yqxpP22（2-1-14）由（2-1-13）和（2-1-14），得qyxpP2由PU2，有02yqxpU令yqxpUyxp,1（2-1-15）yxp,1是一个调和函数，设调和函数yxp,1为解析复变函数z的实部，即zyxpRe,1（2-1-16）另利用yxiqyxpz,,和iyxz的乘积，可得zzyqxpRe（2-1-17）（反推：()()zzxiypiqxpyqixqiyp）实部最后，由（2-1-15）、（2-1-16）和（2-1-17）式，得9yqxppU1zzzRe（2-1-18）由此可见，双调和函数U可以用两个复变解析函数z和z来表示。式（2-1-18）就是Muskhelishvili复应力函数，U满足双调和方程，是双调和函数。针对具体问题的边界条件，适当选择两个解析函数，就可以得到问题的真实解答。3.应力、合力及位移的复应力函数表达式首先将应力分量用复变函数来表示，由弹性力学公式，假设不计体力，有22yUx，22xUy，yxUxy2（2-1-19）令zz'zz'(2-1-20)zzz'以应力分量x为例，推导如下：12222pyqxpyyUx22122ppqxqyyyyy21222222ypyqyqyypx10zyzyyyp'ImRe22zz'ReRezyzyyyq'ReIm22zz'ImImzzyqRe'Rezyzyyyp'ImRe212zzReRe则21222222ypyqyqyypxxRe'()Im'()2Re()Re()xzyzzzzzzz'ReRe2——反推ziziyxzz'Im'Re'zyziyzxizx'Im'Re'Im'Re（用到实部）经类似推导，得各个应力函数的复应力函数表达式为zzzzx'ReRe2.zzzzy'ReRe2.(2-1-21)zzzxy'Im或者11zyxRe4zzzixyxy'22位移的表达式为zzzzivuG'2（2-1-22）其中G为剪切模量，平面应力平面应变13)(43，为泊松比。下面求合力的表达式，令yUixUyxf,1pyqxpyixyUixU＝ypqyqyypxixpxqypxpx11zzzz'则zzzzyxf',（2-1-23）平面问题的应力边界条件为nxyynxyxYlmXml12由几何关系有dsdyxnl,cos，dsdxynm,cos则nnYyxUlxUmXyxUmyUl222222nnYyxUdsd