高考数学-立体几何-2020年高考数学(理)破题之道与答题规范

专题04立体几何[破题之道]立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建模、建系．(1)建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距离等的计算模型；(2)建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．.[考点框架][满分示范]【典例】(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD︵所在平面垂直，M是CD︵上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M­ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．[满分示范]切入点：(1)借助圆的几何性质得出DM⊥CM，进而借助面面垂直的判定求解．关键点：(2)借助体积公式先探寻M点的位置，建系借助坐标法求解．[满分示范]规范解答(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.2分因为M为CD︵上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.5分[满分示范](2)以D为坐标原点，DA→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.6分当三棱锥M­ABC体积最大时，M为CD︵的中点．7分由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，AM→＝(－2,1,1)，AB→＝(0,2,0)，DA→＝(2,0,0)．8分[满分示范]设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则n·AM→＝0，n·AB→＝0，即－2x＋y＋z＝0，2y＝0.可取n＝(1,0,2)．9分[满分示范]DA→是平面MCD的法向量，因为cos〈n，DA→〉＝n·DA→|n||DA→|＝55，sin〈n，DA→〉＝255.11分所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是255.12分[满分心得]❶写全得分步骤，踩点得分：对于解题过程中踩分点的步骤有则给分，无则没分.如第(1)问中缺少交线为CD，扣分，忽视DM⊂平面DMA也要扣分.❷正确计算是得分的保证：建系指出原点和坐标轴正方向，关键点坐标要准确.[满分体验]1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[满分体验][解](1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF平面PEF，EF平面PEF，且PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.[满分体验](2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，HF→的方向为y轴正方向，|BF→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H­xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝3.又PF＝1，EF＝2，PF2＋PE2＝EF2，故PE⊥PF.可得PH＝32，EH＝32.[满分体验]则H(0,0,0)，P0，0，32，D－1，－32，0，DP→＝1，32，32，HP→＝0，0，32为平面ABFD的法向量．设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝HP→·DP→|HP→||DP→|＝343＝34.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.[满分体验]2.(2019·太原模拟)在三棱柱ABC­A′B′C′中，AB＝BC＝CA＝AA′，侧面ACC′A′⊥底面ABC，D是棱BB′的中点．(1)求证：平面DA′C⊥平面ACC′A′；(2)若∠A′AC＝60°，求二面角A­BC­B′的余弦值．[满分体验][解](1)取AC，A′C′的中点O，F，连接OF与A′C交于点E，连接DE，OB，B′F.则E为OF的中点，因为三棱柱ABC­A′B′C′，所以OF∥AA′∥BB′，且OF＝AA′＝BB′，所以四边形BB′FO是平行四边形.2分又D是棱BB′的中点，所以DE∥OB.[满分体验]因为侧面AA′C′C⊥底面ABC，且OB⊥AC，所以OB⊥平面ACC′A′，所以DE⊥平面ACC′A′，又DE平面DA′C，所以平面DA′C⊥平面ACC′A′.5分[满分体验](2)连接A′O，因为∠A′AC＝60°，所以△A′AC是等边三角形，故A′O⊥底面ABC.6分设AB＝BC＝CA＝AA′＝2，可得A′O＝OB＝3，分别以OB，OC，OA′分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A′(0,0，3)，BC→＝(－3，1,0)，BB′→＝AA′→＝(0,1，3).8分[满分体验]设平面BCC′B′的一个法向量为m＝(x，y，z)，则m·BC→＝0，m·BB′→＝0，所以－3x＋y＝0，y＋3z＝0，取x＝1，y＝3，z＝－1，所以m＝(1，3，－1).10分[满分体验]又平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)，故cos〈m，n〉＝－15＝－55，11分因为二面角A­BC­B′为钝角，所以其余弦值为－55.12分