数学2-2--导数及其应用

安徽省界首一中[e-mail]心力高二数学试题第1页共9页数学2-2导数及其应用一、选择题：1．对于R上可导的任意函数)(xf，若满足0)()1(xfx，则必有（）A、)1(2)2()0(fffB、)1(2)2()0(fffC、)1(2)2()0(fffD、)1(2)2()0(fff2．设P为曲线C：223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，则点P横坐标的取值范围为（）A．112，B．10，C．01，D．112，3．设曲线11xyx在点(32)，处的切线与直线10axy垂直，则a（）A．2B．12C．12D．24．设曲线2axy在点（1，a）处的切线与直线062yx平行，则a（）A．1B．12C．12D．15．设aR，若函数xyeax，xR，有大于零的极值点，则（）A、1aB、1aC、1aeD、1ae6．设()lnfxxx，若0'()2fx，则0x（）A.2eB.eC.ln22D.ln27．若21()ln(2)2fxxbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是（）A.[1,)B.(1,)C.(,1]D.(,1)8．函数3223125yxxx在[0，3]上的最大值，最小值分别是（）A．5，-15B．5，-4C．-4，-15D．5，-16二、填空题安徽省界首一中[e-mail]心力高二数学试题第2页共9页9．如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))ff；函数()fx在1x处的导数(1)f．10．直线12yxb是曲线ln(0)yxx的一条切线，则实数b11．设曲线axye在点(01)，处的切线与直线210xy垂直，则a．12．3()31fxaxx对于1,1x总有()0fx成立，则a=三、解答题13．已知函数2()()xfxaxbxce的图象过点(0,2)a,且在该点处切线的倾斜角为45°（I）使用a表示,bc；（Ⅱ）若()fx在[2,)上为单调递增函数，求a的取值范围；2BCAyx1O34561234安徽省界首一中[e-mail]心力高二数学试题第3页共9页14．设函数f(x)=1xe+ax(aR).(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处有极值,且函数g(x)=f(x)+b在(0,+∞)上有零点，求b的最大值；(Ⅱ)若f(x)在(1，2)上为单调函数，求实数a的取值范围；15．若存在实常数k和b，使得函数()fx和()gx对其定义域上的任意实数x分别满足：()fxkxb和()gxkxb，则称直线:lykxb为()fx和()gx的“隔离直线”．已知2()hxx，()2ln(xexe为自然对数的底数)．（1）求()()()Fxhxx的极值；（2）函数()hx和()x是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．安徽省界首一中[e-mail]心力高二数学试题第4页共9页16．已知函数()fxax，()lngxx（a为常数）（I）求函数()yfxgx极值；（II）试就a的不同取值，研究直线()fxax与()lngxx的交点个数17．设函数lnfxaxx，22gxax.⑴当1a时，求函数yfx图象上的点到直线30xy距离的最小值；⑵是否存在正实数a，使fxgx对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.安徽省界首一中[e-mail]心力高二数学试题第5页共9页导数及其应用一、选择题：1．C2．A3．D4．A5．A6．B7．C8．A二、填空题9．((0))ff2；(1)f-2．10．ln21b11．2a12．提示：要使()0fx恒成立，只要min()0fx在1,1x上恒成立。22()333(1)fxaxax01当0a时，()31fxx，所以min()20fx，不符合题意，舍去。02当0a时22()333(1)0fxaxax，即()fx单调递减，min()(1)202fxfaa，舍去。03当0a时1()0fxxa①若111aa时()fx在11,a和1,1a上单调递增，在11,aa上单调递减。所以min1()min(1),()fxffa(1)400411()120faafaa②当111aa时()fx在1,1x上单调递减，min()(1)202fxfaa，不符合题意，舍去。综上可知a=4.三、解答题13．解：（I）2'()(2)()xxfxaxbeaxbcce2[(2)],xaxbaxcbe··············································2分由已知得：'(0)1(0)2fbcfa，即212caba（Ⅱ）方法一：由（I）得2'()(1)xfxaxxe()fx在[2,)上为单调增函数，则'()0[2,)fxx对恒成立，安徽省界首一中[e-mail]心力高二数学试题第6页共9页即210axx对[2,)x恒成立。即21xax对[2,)x恒成立，令222111111()()24xxxxxx，112,0,21()4mixxxx14a方法二：同方法一。令2312(),'()xxxxxx当2x时'()0x，()x在[2,)x单调递增，mi1()(2)4xx14a14．解:(Ⅰ)f'(x)=1xe-2ax,又函数f(x)在x=1处有极值,∴f'(1)=0,a=1,经检验符合题意g'(x)=1xe-21x,当x∈(0,1)时,g'(x)0,g(x)为减函数,当x=1时,g'(x)=0,当x∈(1,+∞)时g'(x)0，g(x)为增函数,∴g(x)在x=1时取得极小值g(1)=2+b,依题意g(1)≤0,∴b≤-2,∴b的最大值为-2;(Ⅱ)f'(x)=1xe-2ax，当f(x)在(1，2)上单调递增时,1xe-2ax≥0在[1，2]上恒成立,∴a≤x21xe,令h(x)=x21xe，则h'(x)=1xe(x2+2x)0在[1，2]上恒成立,即h(x)在[1，2]上单调递增,∴h(x)在[1，2]上的最小值为h(1)=1,∴a≤1;当f(x)在[1,2]上单调递减时,同理a≥x21xe,h(x)=x21xe在[1,2]上的最大值为h(2)=4e,∴a≥4e;综上实数a的取值范围为a≤1或a≥4e；15．解(1)()()()Fxhxx22ln(0)xexx，22()()()2exexeFxxxx．当xe时，()0Fx．安徽省界首一中[e-mail]心力高二数学试题第7页共9页当0xe时，()0Fx，此时函数()Fx递减；当xe时，()0Fx，此时函数()Fx递增；∴当xe时，()Fx取极小值，其极小值为0．(2)解法一：由（1）可知函数)(xh和)(x的图象在ex处有公共点，因此若存在)(xh和)(x的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k，则直线方程为)(exkey，即ekekxy．由)()(Rxekekxxh，可得02ekekxx当Rx时恒成立．2)2(ek，由0，得ek2．下面证明exex2)(当0x时恒成立．令()()2Gxxexeexexe2ln2，则22()()2eeexGxexx，当xe时，()0Gx．当0xe时，()0Gx，此时函数()Gx递增；当xe时，()0Gx，此时函数()Gx递减；∴当xe时，()Gx取极大值，其极大值为0．从而()2ln20Gxexexe，即)0(2)(xexex恒成立．∴函数()hx和()x存在唯一的隔离直线2yexe．解法二：由(Ⅰ)可知当0x时，()()hxx(当且当xe时取等号)．若存在()hx和()x的隔离直线，则存在实常数k和b，使得安徽省界首一中[e-mail]心力高二数学试题第8页共9页()()hxkxbxR和()(0)xkxbx恒成立，令xe，则ekeb且ekebkebe，即ekeb．后面解题步骤同解法一．16．解：（I）令1()()(),()ln,'(),FxfxgxFxaxxFxax令'()0,1Fxax（1）当0a时，驻点是1,a当1xa时，'()0Fx；当10xa时，'()0Fx，1xa是函数的极小值，且极小值为11lna，函数无极大值点。（2）0,x当0a时，1'()0Fxax，()Fx是减函数，函数无极大值点。（II）令lnln,,xaxxax设ln(),xpxx则21ln'(),xpxx令'()0,px得xe，如下表1(),pee当xe时，()0px且x时，()0,px而0x，且0x时，(),px由此，作出函数()px的图象，根据()px的图象可知：（1）当1ae或0a时，方程lnxax有唯一解，即直线()fxax与()lngxx的交点个数为1；（2）当10ae时，方程lnxax有两解，即直线()fxax与()lngxx的交点个数217．解：⑴由lnfxxx得11fxx，令1fx得12x∴所求距离的最小值即为11,22Pf到直线30xy的距离11ln232214ln2222d⑵假设存在正数a，令Fxfxgx0x则max0Fxx(0,)ee(,)e'()px+0-()px递增极大值递减安徽省界首一中[e-mail]心力高二数学试题第9页共9页由2120Fxaaxx得：1xa∵当1xa时，0Fx，∴Fx为减函数；当10xa时，0Fx，∴Fx为增函数.∴max11lnFxFaa∴1ln0a∴1a∴a的取值范围为),1[