网络教育《数值分析》作业及答案

第1页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！《数值分析》作业一．选择题1.设2)(5xxf，等距结点,2),,2,1,0(2hihixi步长，则差分06f_____A_____。(A)0(B)1(C)2(D)262.设线性方程组bAx，其Seidel迭代矩阵B2,如果Seidel迭代法收敛，则_____B_____.(A)1||||22B(B)1)(2B(C)A是正定实对称矩阵(D)0limkkA3.2m+1个结点的插值求积公式的代数精确度至少为___B_______，至多为__________.(A)2m+1，4m+1(B)2m，4m+1(C)2m+1，4m-1(D)2m，2m+14．在计算机数系中，______D____。(A)四则运算封闭(B)结合律和交换律成立(C)不包含零(D)均是有理数5．]1,5.0[0x，由迭代公式)(1kkxgx构造的序列}{kx收敛于方程0123xx在该区间上的根，则)(xg____C_____。(A)112x(B)31x(C)11x(D)13xx6．设P为n阶正交阵，则2||||P与)(2Pcond的关系____D______。(A)相等，但不一定等于1(B)大于(C)小于(D)相等，且等于17．设数值计算公式)()()(prhochahFrp，其理查逊外推公式为____C______.(A)12)()2/()(phFhFhF..(B)12)()2/()(phFhFhF(C)12)()2/()2/(phFhFhF.(D)12)()2/()2/(phFhFhF8．A为非奇异矩阵，且A=LLT，其中L为下三角矩阵,则____B_____.(A)L的主对角线元素),,2,1(0nilii..(B)A正定对称(C)A的主对角线元素不全大于零...(D)A半正定对称9．设10维向量TTYX)10,,2,1(,)5,,3,4(，则||||TXY___D____.(A)50(B)85(C)110(D)27510．设A为n阶实对称非奇异矩阵，是A的特征值，则_____C______。(A)||||1A(B)||||1A(C)||||11A(D)||||11A11．已知n阶矩阵A可由简单消去法得到LU分解，则____B______。(A)A非奇异(B)A的1阶到n-1阶顺序主子式0第2页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！(C)0nnu(D)),,2,1(0niuii12．设P为n阶置换矩阵，A为n阶任意矩阵，则2||||A与2||||PA的关系____A____，||||A与||||PA的关系_________。(A)相等，相等(B)相等，不一定相等(C)不一定相等，相等(D)不一定相等，不一定相等13．设),,1,0()(njxlj是以nxxx,,,10为结点的Lagrange基本插值多项式，则)(xlj的次数为_____A____。(A)n(B)小于n(C)j(D)n+114．设s(x)是[a,b]上的三次样条插值函数，则以下结论正确的是____C____。（A）s(x)连续但不可导（B）s(x)的一阶导数存在，但不连续（C）s(x)的二阶导数存在且连续（D）s(x)的二阶导数存在，但不连续15．利用切线法计算)0(cc时，迭代公式为___A______。(A))(211nnnxcxx(B)cxxnn21(C)111nnnnnxxcxxx(D))(211nnnxcxx16．设为)(A矩阵A的谱半径，则)(A_____B_____。(A)||||sup||||A(B)||||inf||||A(C)22||||A(D)22||||AAT17．设A奇异矩阵，A的1阶至n-1阶顺序主子式不为零，则A有LU分解,且有_____D_____。(A)),,1(0niuii(B)0nnu(C)),,1(0niuii(D)0nnu18．设过[a,b]上结点nxxx,,,10的Gauss求积公式baniiixfwdxxf0)()(，则以下结论错误的是____A______.(A)该Gauss求积公式是代数精确度为2n+1的N-C公式(B)结点nxxx,,,10是[a,b]上正交多项式的根(C)abdxxlbainiini)(00(D)0))((2baiidxxl19．设线性方程组AX=b可以化成迭代方程组X=BX+g且TBB，则简单迭代法和塞德尔迭代法均收敛的充要条件是D第3页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！a)1)(Ab)11Bc)1Bd)12B20．已知方程xxf)(，则切线法解此方程的迭代公式为Ca)01nxb))()(1nnnnxfxfxxc)1)()(1nnnnnxfxxfxxd))()(1nnnnxfxfxx21.设矩阵TAA，且AX=b的消元过程可以进行到底，TLDLA（L为单位下三角阵，D为对角阵）则应满足条件Aa)1,,2,10nidiib)A为正定对称阵c)1,,2,10nidiid)A为非奇异矩阵22.设A为n阶实方阵P为n阶正交阵，则2PA为Da)1Ab)Ac))(Ad)2A23.将区间]1,1[2等分，用抛物线公式计算dxx11211的近似值，则将近似值)(~hp=Ca)2/3b)10/3c)5/3d)124.设mn阶矩阵A的各列线性无关，且AABT，则Ca)B是半正定对称阵b)A的逆矩阵存在c)B的特征值大于零d)A是奇异矩阵二．填空题1．设2112A，则1||||A___3____，2||||A____3____，谱半径)(A____3______。2．已知函数)(xf在结点处的值如下，ix-1210211)(ixf123-2-3利用复合梯形公式计算dxxf11)(______1____，再使用一次理查逊外推法，可得dxxf11)(____2/3______。第4页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！)())((102010nxxxxxxxxxxxgsin1cos)(3．设2)(100xxf，等距结点,2),,2,1,0(2hihixi步长，则差分0100f_____100!_____，0101f_____2100_____。4．设aaaA020000，且0limkkA，则a的取值范围____(-1,1)______。5．设),,1,0()(njxlj是以nxxx,,,10为结点的Lagrange基本插值多项式，则)(0xl的差商],,,[100nxxxl__________。6．利用newton法求方程xxcos的根，迭代公式为________,收敛阶数至少为____2____。7．设aaaA020000，且0limkkA，则a的取值范围______(-1,1)_______。8．设)1(),,1,0()(nnjxlj是以nxxx,,,10为结点的Lagrange基本插值多项式，则njjjxlx0)(______x____。9．已知2)1(,1)21(,4)0(fff，利用这5个结点的数据，由复合梯形公式计算dxxf11)(___4__，再由理查逊外推一次得dxxf11)(______，误差阶数提高为_____。10．过5个节点的Newton-Cotes求积公式的代数精确度至少为____5____，过5个节点的Gauss求积公式的代数精确度为_____9_____。11．利用切线法计算)0(cc时，迭代公式为_____________,收敛阶数至少为____2_____。12．设4)1(,3)1(,1)0()0(pppp，则满足以上条件的次数小于或等于3的插值多项式)(xp______31xx______。13．过三个结点1,0,1，用Romberg积分法计算11311dxxx____10/9_____，误差阶数为_____4_____。14．设10维向量TTYX)10,,2,1(,)1,,9,10(，则||||X____10____,1||||Y___55_____,)(211nnnxcxx3abb第5页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！||||TXY__550_____。15．设bAaA1000,使用理查逊外推法外推一步得11A。16．设方程0132xx在区间]1,1[上的等价方程为)(xgx，且)(xg为]1,1[上的压缩映象，则)(xg=。17．设12/112/3A，则)(2B。18．若,0813则它的三个根分别为。19．满足条件3)1(,1)0(,0)0(ppp的插值多项式为。20．设aAbA1000,使用理查逊外推法外推一步得11A。三．1.设]1,1[上的函数22)1)(1()(xxxxf，1．选取等距结点1,0,1，求)(xf的插值多项式.2．选取等距结点1,21,0,21,1，求)(xf的插值多项式.3．四等分区间]1,1[，用抛物线公式近似计算11)(dxxf解：1.12)(2xxxp2.)()(xfxp3.12292.确定常数A、B、C及a，使得求积公式：22)()0()()(aCfBfaAfdxxf有尽可能高的代数精确度，并指出其代数精确度。解：512,916,910aBCA,代数精确度为53.设A是n阶非奇异矩阵，试证：222))(()(AcondAAcondT证明：||)'(||||'||)'(1AAAAAAcond设}'max{的特征值的模AA，})'max{(11的特征值的模AA，则上式=2212))((||||||||AcondAA312x31431,431,21iixx223baa第6页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！4.设线性方程组120221-001-21-001-21-001-24321xxxx(1)．求系数矩阵A的LU分解和方程组的解.(2)．判断Seidel迭代法是否收敛，并给出Seidel迭代格式的分量形式.解：1.(12分)1111433221L,4534231112U,0101X2.(8分)Seidel收敛，因为A实正定对称阵.迭代格式2/)1(2/)2(2/)(2/)2()1(3)1(4)(4)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1kkkkkkkkkkxxxxxxxxxx5.用插值法求在00x点与cosx相切，在21x点与cosx相交的二次多项式)(2xp，并在区间]2,0[上估计余项大小。解：14)(22xxp，余项6*54|)2(|61)(cos322xxxpx6.6.设A是n阶实矩阵，X、Y是n维列向量，试证：220,02||||||||||sup||||YXAXYATYX证明：