全等三角形讲义

11.1全等三角形一、知识点：1.全等形的定义2.全等三角形的定义3.对应顶点、对应边、对应角的定义4.全等三角形的性质二、重难点：1.全等三角形的概念2.对应顶点、对应边、对应角的定义3.全等三角形的性质三、考点全等三角形的性质一、全等形1.叫做全等形。全等用符号表示，读作2.两个图形是否为全等形，关键是看两个图形的是否相同，是否相等，而与图形所在的无关；判断两个图形是否是全等形，只要把它们在一起，看是否完全；一个图形经过、、等变换后，所得到的图形与原图形全等。例题：1.下列说法不正确的是（）A．形状相同的两个图形是全等形B.大小不同的两个图形不是全等形C.形状、大小都相同的两个图形是全等形D.能够完全重合的两个图形是全等形2.下列说法正确的是（）A．面积相等的两个图形是全等图形B.周长相等的两个图形是全等图形C.形状相同的两个图形是全等图形D.能够重合的两个图形是全等图形二、全等三角形1.叫做全等三角形2.两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做3.寻找对应因素的方法：①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角；③全等三角形的公共角是对应角；④全等三角形的公共边是对应边；⑤全等三角形中的对顶角是对应角；⑥全等三角形中一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角例题：1．下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角oOBACDABCDABCDCABD2．将ABC沿直线BC平移，得到DEF，说出你得到的结论，说明理由？BCADFE3．如图，,ACDABEAB与AC，AD与AE是对应边，已知：30,43BA，求ADC的大小。ABCDE4．△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角∠E，则∠C与_______是对应角；AB与_______是对应边，BC与_______是对应边，AC与_______是对应边.5.如图所示，△ABD≌△CDB，则两个三角形的两两对应边是BD与，BC与，AB与，对应角是∠ABD与，∠BDA与，∠A与。6.如图所示，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边，下面四个结论中不正确的是（）A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD//BC,且AD=BC三、全等三角形的性质全等三角形的性质：①②找对应边、对应角的经验：①大对大，小对小②公共的边是对应边，公共的角是对应角，③对顶角是对应角，④对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边例题：（2009年清远）如图，若111ABCABC△≌△，且11040AB°，°，则1C=．2.（2009海南）已知图中的两个三角形全等，则∠的度数是A．72°B．60°C．58°D．50°3.（2009太原）如图，ACBACB△≌△，BCB=30°，则ACA的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°能力提高：ABCC1A1B1c58°ba72°50°caCABBA1.如图，已知△ABE≌△ACD,AB=AC，BE=CD,∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC=（）A120°B60°C50°D70°2.△''OAB是由△OAB绕点O逆时针旋转60°得到的，那么△''OAB与△OAB是什么关系？若∠AOB=40°，∠B=30°，则∠'A与'AOB是多少度？11.2全等三角形的判定EDCBAA'B'BAO一、知识点1.边边边（SSS）2.边角边（SAS）3.角边角（ASA）4．角角边（AAS）5.斜边、直角边（HL）二．重难点掌握“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”条件判定两个三角形全等三、考点运用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”条件判定两个三角形全等一、三边对应相等的两个三角形全等（SSS）用数学语言表述：在△ABC和△DEF中FDCAEFBCDEAB∴△ABC≌△DEF（SSS）例题1：（2009年牡丹江）尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得OCPODP△≌△的根据是（）A．SASB．ASAC．AASD．SSS2.（2009年宜宾）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD。求证：∠C=∠A.3.(2009年云南省)如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB；DCBA第13（3）题图ODPCABBCADM巩固提高：1.（2010年福建模拟）如图，在□ABCD中，E、F为BC两点，且BE＝CF，AF＝DE．求证：（1）△ABF≌△DCE2.（2009，内江）如图，已知ABACADAE，．求证BDCE．二、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）ACEDB用数学语言表达为：在△ABC与△DEF中EFBCEBDEAB∴△ABC≌△DEF(SAS)例题：1.（北京.）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EAAD，FDAD，AE=DF，AB=DC。求证：ACE=DBF。2.(2010昆明)如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF.（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△EFD，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明△ABC≌△EFD.3.(苏州2010中考题)．如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)若∠D=50°，求∠B的度数4.（2010年广西桂林适应训练）已知：如图点CEBF，，，在同一直线上，ACDF∥,ACDF，CE=BF．求证：AB‖DE．能力提高：1.（2009年浙江省绍兴市）如图，在ABC△中，40ABACBAC，°，分别以ABAC，为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使90BADCAE°．FABCDEAFBECD（1）求DBC的度数；（2）求证：BDCE2.（2009年娄底）如图10，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.（1）求证：△ABE≌△ACE3.（2010年长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．4.（2010年宁德市）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB三、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）EADBCNMEBDACFAFDEBCFEDCBA用数学符号表示：在△ABC与△DEF中EBDEABDA∴△ABC≌△DEF(ASA)例题：1.（2010年镇江市）如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD.（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小.2.（2010宁德）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.3.（2010年福建福州中考）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D。求证：△ABC≌△DEF能力提高：1.(2010年燕山)已知：如图，四点B、E、C、F顺次在同一条直线上，A、D两点在直线BC的同侧，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠DFE．求证：AC＝DF．BDCAEFBECFAD2.(2010重庆市潼南县)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）证明：△ABE≌△DAF；3.(2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。求证：BD=CD4.（2010浙江省绍兴）如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.四、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）ACBDEFG1423题图24用数学符号表示：在△ABC与△DEF中EFBCEBDA∴△ABC≌△DEF(AAS)例题：1.（2009年福州）如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD2.(2009年南充)如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DEAG⊥于E，BFDE∥，交AG于F．求证：AFBFEF．3.（2010四川宜宾）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE4.（2010山东德州）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．(1)求证：AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．DCBAEFGFEDCBAADBEFCO巩固提高：1.（2009年黄石市）如图，CF、在BE上，ADACDFBFEC，∥，．求证：ABDE．2.(2009年上海市)已知线段AC与BD相交于点O，联结ABDC、，E为OB的中点，F为OC的中点，联结EF（如图所示）．（1）添加条件∠A=∠D，OEFOFE，求证：AB=DC．（2）分别将“AD”记为①，“OEFOFE”记为②，“ABDC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是命题，命题2是命题（选择“真”或“假”填入空格）3.（2010年北京市中考模拟）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90，CDAB于点D,点E在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F。求证：AB=FCODCABEFABCFED五、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）用数学符号表示：在Rt△ABC与Rt△DEF中DFACDEAB∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）例题：1.（2009年清远）如图，已知正方形ABCD，点E是AB上的一点，连结CE，以CE为一边，在CE的上方作正方形CEFG，连结DG．求证：CBECDG△≌△2.（09湖南怀化）如图9，P是∠BAC内的一点，PEABPFAC，，垂足分别为点EF，，AFAE．求证：（1）PFPE；（2）点P在∠BAC的角平分线上巩固提高：1.（2009年吉林省）如图，,ABACADBCDADAEABDAEDEF于点，，平分交于点，请你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．EBCGDFA2.求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等3.如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F。（1）证明：EF与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF（如图1）。（2）如图2，EF与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。BDCFA郜E