初中分式讲义

分式的概念、运算及分式方程一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如AB，AB、是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：ababccc⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：acadcbbdbd⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：acacbdbd⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：acadadbdbcbc⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nnnaabb8.整数指数幂：⑴mnmnaaa（mn、是正整数）⑵nmmnaa（mn、是正整数）⑶nnnabab（n是正整数）⑷mnmnaaa（0a，mn、是正整数，mn）⑸nnnaabb（n是正整数）⑹1nnaa（0a，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx有意义？【巩固】⑴若分式216(3)(4)xxx有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xxx无意义，则x;解下列不等式：①503xx；②523xx【巩固】⑴解不等式304xx；⑵解不等式334xx.模块二分式的运算☞分式的化简求值裂项【例2】设n为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2nn.【巩固】化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)xxxxxx.【巩固】化简：22222111113256712920xxxxxxxxxx【例3】化简：222()()()()()()abcbaccababacbcbacacb.【巩固】已知a，b，c为实数，且13abab，14bcbc，15caca，求abcabbcca.【巩固】化简：222222abcbcacabaabacbcbabbcaccacbcab.☞分式的恒等变形部分分式【例4】下面的等式成立：22465()()xyxyxyAxyB，求A、B.【巩固】若代数式(1)(2)(3)xxxxp恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p的最大值是.【例8】若213111aMNaaa，求M、N的值.【巩固】已知2ax与2bx的和等于244xx，求a，b.分式恒等证明【例9】求证：332222222222aaaabbaabbaabbaabbabab【巩固】已知x、y、z为三个不相等的实数，且111xyzyzx，求证：2221xyz.条件分式求值【例10】已知xyz，，满足235xyzzx，则52xyyz的值为（）A.1B.13C.13D.12【巩固】设有理数abc，，都不为0，且0abc，则222222222111bcacababc的值为___________。分式与数论【例11】将abba写成两个因式的积，使它们的和为abba，求这两个式子。【巩固】求最大的正整数n，使得3100n能被10n整除。模块三分式的方程☞解分式方程【例5】解方程：222234112283912xxxxxxxx【巩固】解方程：2221120102910451069xxxxxx【巩固】解方程：222111011828138xxxxxx☞分式方程的增根及根的讨论【例12】已知关于x的方程233xmxx有一个正整数解，求m的取值范围．【巩固】当m为何值时，关于x的方程123(2)(3)xxxmxxxx的解为负数？【巩固】关于x的方程22124xmxx的解也是不等式组1222(3)8xxxx的一个解，求m的取值范围☞一元一次分式方程的应用【例13】为响应低碳号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车．李老师家距学校10千米，由于汽车的速度是自行车速度的4倍，所以李老师每天比原来提前30分钟出发，才能按原来的时间到校，求李老师骑自行车的速度．【巩固】为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？【巩固】某铁路有一隧道，由A队单独施工，预计200天贯通．为了公路早日通车，由A，B两队同时施工，结果120天就贯通了．试问：如果由B队单独施工，需要多少天才能贯通？☞二元一次分式方程的应用【例14】“端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为13；妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次妈妈又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为12．（1）请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若妈妈从盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子6只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回地任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子，用列清法计算）【巩固】内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2万元和0.7万元．试问：（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？（2）要使整个工程费用不超过22.5万元，则乙公司最少应施工多少天？【巩固】用大、小两种货车运送360台机械设备，有三种运输方案．方案1：设备的12用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27辆；方案2：设备的13用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28辆；方案3：设备的23用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26辆；（1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？（2）如果每辆大货车的运费比每辆小货车的运费高m%（m＞0），请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由．☞分式方程组解分式方程组的关键就是利用换元法或者倒数法，将复杂的分式方程组转化为整式方程组，然后利用解整式方程组的方法进行求解，得到换元后的未知数的值，代入后得到,,xyz的解．【例15】解方程组：123124914692xyzxyzxyz【巩固】解方程组661283310xyxy　①　②【巩固】解方程组：54212732012xyxy【例16】解方程222222212121ababcbcac，其中0a，0b，0c．【巩固】解方程组3136232xyxyxyxy检测：【练习1】解方程221122710xxxx【练习2】化简：()()()()()()abbccacacbbaacbcba【练习3】若对于3以外的一切数，28339mnxxxx均成立，求mn.【练习4】若关于x的恒等式222MxNcxxxaxb中，22MxNxx为最简分式，且有ab，abc，求N.【练习5】若abxab，bcybc，cazca，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyz【练习6】解方程组：21232(1)(2)43xyxxyxzxxzyzyz课后作业1.解方程22631042101322xxxxxxxx2.解方程16252736xxxxxxxx3.将269x化为部分分式.4.若21(2)axbxy，且0ab，求111...(1)(1)(2007)(2007)xyxyxy的值．5.若1abc，求证：1111abcaabbbccca.6.解方程组：4503043xyxyxy章节复习1填空：（1）当x时，分式有意义。（2）当x时，分式有意义。（3）当b____时，分式有意义。（4）当x、y满足关系时，分式有意义。2下列变形正确的是（）（A）abababab（B）abababab（C）11abab（D）ababbaba下列各分式中，最简分式是（）A、yxyx8534B、yxxy22C、2222xyyxyxD、222yxyx3下列约分正确的是（）A、313mmmB、212yxyxC、123369ababD、yxabybax将分式12x-yx5+y3的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（）.（A）x-2y3x+5y（B）15x-15y3x+5y（C）15x-30y6x+10y（D）x-2y5x+3y4计算：(1)3234xyyx；(2)3222524ababccd；(3)2224422214aaaaaa；(4)2236497mmm；5计算：（1）2x5x-3÷325x2-9·x5x+3（2）(-2a2b3c)2(3)(a2b-cd3)3÷2ad3·(c2a)26计算：（1）5x+3yx2-y2－2xx2-y2(2)12p+3q+12p-3q(3)221()4aabbabb(4)21211()()111xxxxxx7计算：2313()xyxy8解方程31523162xx9一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？真题演练1．下列各式与xyxy相等的是（）A.()5()5xyxyB.22xyxyC.222()()xyxyxyD.2222xyxy2．解分式方程21x+31x=261x，下列四步中，错误的一步是（）A．方程两边分式的最简公分母是x2-1;B．方程两边都乘以（x2-1），得整式方程2（x-1）+3（x+1）=6;C．解这个整式方程得：x=1D．原方程的解为x=1;3．若252xx的值为-1,则x