求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

第1页共12页求数列通项公式的十种方法一、公式法例1已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。二、利用1(2)1(1)nnSSnSnna例2．若nS和nT分别表示数列{}na和{}nb的前n项和，对任意正整数2(1)nan，34nnTSn.求数列{}nb的通项公式；解：22(1)4231anadSnnnn23435TSnnnnn……2分当1,35811nTb时当2,6262.1nbTTnbnnnnn时……4分练习：1.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－10，∴an－an－1=5(n≥2)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当a1=3时，a3=13，a15=73新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆三、累加法第2页共12页例3已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。例4已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan评注：本题解题的关键是把递推关系式1231nnnaa转化为1231nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。四、累乘法第3页共12页例6已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。例7已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan①所以1123123(1)nnnaaaanana②用②式－①式得1.nnnaana则1(1)(2)nnanan故11(2)nnanna所以13222122![(1)43].2nnnnnaaanaannaaaaa③第4页共12页由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入③得!13452nnan。所以，{}na的通项公式为!.2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaa，从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列{}na的通项公式。五.构造等差或等比1nnapaq或1()nnapafn例8（2006年福建卷）已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式；解：*121(),nnaanN112(1),nnaa1na是以112a为首项，2为公比的等比数列。12.nna即2*21().nanN例9．已知数列na中，11a,1111()22nnnaa，求na。解：在1111()22nnnaa两边乘以12n得：112(2)1nnnnaa令nnnab2，则11nnbb,解之得：111nbbnn所以122nnnnbna练习.已知数列}a{n满足）（2n12a2an1nn，且81a4。（1）求321aaa，，；（2）求数列}a{n的通项公式。解：（1）33a13a5a321，，（2）n1nnn1nn2)1a(21a12a2a1n21a121a21ann1n1nnn第5页共12页∴12)1n(ann六、待定系数法例10已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。解：设1152(5)nnnnaxax④将1235nnnaa代入④式，得12355225nnnnnaxax，等式两边消去2na，得135525nnnxx，两边除以5n，得352,1,xxx则代入④式得1152(5)nnnnaa⑤由1156510a及⑤式得50nna，则11525nnnnaa，则数列{5}nna是以1151a为首项，以2为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列{5}nna是等比数列，进而求出数列{5}nna的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。例12已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz⑧将212345nnaann代入⑧式，得2222345(1)(1)2()nnannxnynzaxnynz，则222(3)(24)(5)2222nnaxnxynxyzaxnynz等式两边消去2na，得22(3)(24)(5)222xnxynxyzxnynz，第6页共12页解方程组3224252xxxyyxyzz，则31018xyz，代入⑧式，得2213(1)10(1)182(31018)nnannann⑨由213110118131320a及⑨式，得2310180nann则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列2{31018}nann为以21311011813132a为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，从而可知数列2{31018}nann是等比数列，进而求出数列2{31018}nann的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。七、对数变换法例13已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，，所以100nnaa，。在5123nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan⑩设1lg(1)5(lg)nnaxnyaxny○11将⑩式代入○11式，得5lglg3lg2(1)5(lg)nnanxnyaxny，两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg255xnxyxny，则第7页共12页lg35lg25xxxyy，故lg34lg3lg2164xy代入○11式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan○12由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a及○12式，得lg3lg3lg2lg04164nan