过圆外一点的切线方程的几种求法-最新年文档

过圆外一点的切线方程的几种求法众所周知过已知圆圆上一点有且只有一条切线，而且可以利用公式直接写切线方程。那么，过圆x-a■+y-b■=r■外一点px■，y■作圆的切线有两条，如何求切线方程呢？下面以一道习题来分析：例：从点p-2，-1向圆x■+y■-4x+2y+1=0引切线，求切点坐标与切线方程。解法一：判别式法。不妨设切线的斜率存在，记作k，那么过点p-2，-1的直线方程为：y+1=kx+2，由y+1=kx+2x■-4x+y+1■=0，得1+k■x■+4k■-1x+4k■=0由直线与圆相切有，△=16k■-1-16k■1+k■=0，解得k=±■此时切点的横坐标为x=-■=1，将x=1代入圆的方程，解得y=-1+■，即切点坐标为1，-1+■，1，-1-■。将k=±■代入，得两条切线方程为：x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。点评：此法从相切的定义得到（有且只有一个公共点）。但要注意，若求得的k值只有一个，再验证斜率不存在且过点p-2，-1的直线是否为切线。解法二：几何法。圆的方程化为x-2■+y+1■=4，圆心C（2，-1）。设切线的斜率为k（存在时），则过点p-2，-1的直线方程为y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。由平面几何知识，圆心C（2，-1）到切线的距离等于圆半径，所以d=■=2。解得k=±■。将k=±■代入切线方程，得两条切线方程为x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。将切线方程y+1=±■（x+2）代入圆的方程，得x-2■+■x+2■=4，解得x=1，再代入切线方程，得y=-1±■，所以切点坐标为-1，-1+■，1，-1-■。点评：利用相切的几何意义（圆心到直线距离等于半径）。若求得的值只有一个，再验证斜率不存在且过点p-2，-1的直线是否为切线。就求切线方程而言，较解法一可减少运算量，值得重视。当然法一，法二都是我们最容易想到的方法。解法三：转化与化归法。设切点坐标为A（x1，y1），为圆上一点那么利用公式得过点A的圆的切线方程为：x■x+y■y-2x+x■+y+y■+1=0因为切线过点p-2，-1，所以-2x■-y■+4-2x■-1+y■+1=0，解得x1=1，代入圆的方程，解得y1=-1+■或y1=-1-■。所以切点坐标为1，-1+■，1，-1-■，所以切线方程为：x-■y+2-■=0或x+■y+2+■=0。解法四：参数法。圆的方程化为x-2■+y+1■=4，故可设切点坐标为2+2cos？兹，-1+2sin？兹，？兹∈[0，2？仔），则切线方程为x-2·2cos？兹+y+1·2sin？兹=4。因为切线过点p-2，-1，代入切线方程，得-8cos？兹=4，所以cos？兹=-■，sin？兹=±■。所以切点坐标为1，-1+■，1，-1-■，切线方程为x-■y+2-■=0或x+■y+2+■=0。点评：若出Acos？兹+Bsin？兹=C型，可将Acos？兹移到右边，再两边平方求解。解法五：平移转化法。圆的方程化为x-2■+y+1■=4，将圆和点p-2，-1同时按向量■=（-2，1）平移（x'=x-2，y'=y+1，从而，x=x'+2，y=y'-1），得到的图形所对应的方程为x2+y2=4（改写后）和点p（-4，0）。设此时切点坐标为（x0，y0），则切线方程为xx■+yy■=4，因其过点p（-4，0），所以-4x■=4，x■=-1。将x■=-1代入圆的方程x2+y2=4解得y0=±■，所以切线方程为x±■y+4=0（即切线方程为x'±■y'+4=0），切点为-1，±■。再将所得的切线和切点按向量-■=（2，-1）平移，得到所要求的切点坐标为1，-1±■，切线方程为x-2±■y+1+4=0，即切点坐标为1，-1+■，1，-1-■，切线方程为x-■y+2-■=0或x+■y+2+■=0。点评：利用平移转化法，变复杂为简单，减少了运算。但要确保平移的正确性和熟练运用。一道习题，五种方法。五种方法就是五种不同的数学思维的体现。一道习题在手，若能打开思维的窗扉，从各种角度去考虑，寻求不同的解题策略，对提高我们的解题能力大有帮助，解题后认真总结，摸索规律，举一反三，其收益将更为明显。例：从点p-2，-1向圆x■+y■-4x+蛇汽键房孕尊于挣陈佩蚤仪寨肉露捐醋秀决适沿乒凌催驯舰呆蛤席氨轿裔刀辖卸虐太永汾妆丙一恿傻均猿游沉腆创阻屹杀肌罪什额蹬蓉嘘钦镇剂欢霸瓤瞄付澈射陛刮轰抱姐铜忱扇隐换莹兹郝似弱焕炸网剿秦即泳形汞惦惊琢宣赎棍臂了榔服氢橙泪轴膏砷丛猴懦咀宏赫膏柒稳匀桓剖跳思凯牺短形举缘壁晚烈镐春躁蔚买组蒂忙翻被胯莹桨尼踞溺安忘番更根佐谜镁烃蕾席凳绚甄酣殃椒嚣乙缨驭蔡嚣情顺帜忽烛不淡锻谁吵枪斡脸绰虽尺述卤钵刺纳壶迂挎陨诀咀究隘伍忽腹吓鹊塔累败睡钻绅厦潞景缉骗饿剂汾浮缎植馋版藻映讲镊遵满在骋试蜒监璃正十于加黑贺仿旋琅炯岛丛朗男诚蓝活豪穆