任意角的三角函数及诱导公式(教师版)

1任意角的三角函数及诱导公式【知识梳理】1．任意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成)(3600Zkk．(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，rl||,l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值rl与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：23600弧度；0180弧度．⑤弧长公式：rl||，扇形面积公式：2||2121rlrS扇形.2．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设,Pxy为角终边上异于原点一点，则角的正弦、余弦、正切分别是：22sinyxy，22cosxxy，tanyx特别地，当221xy时，sin,cosyx，cos,sinP(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为cos,sin，即cos,sinP，其中OMcos，MPsin，单位圆与x轴的正半轴交于点)0,1(A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则ATtan.我们把有向线段ATMPOM、、叫做的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线24．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：222222sincos1sin1cos,cos1sin．(2)商数关系：sinsintansintancos,coscostan.5．九组诱导公式对于角“)(2Zkk”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”．【课前小练】1.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若(4,y)P是角终边上一点，且25sin5，则y_____________答案：8角函数sincostan2k223232232.若4sin5，tan0，则cos()A．35B．35C．45D．45答案：A3.已知51sin()25，那么cos（）A.25B.15C.15D.25答案：B【例题解析】考点一任意角的三角函数值例1已知角的终边过点13P，，求这个角的三个三角函数值。解：∵22sinyxy，22cosxxy，tanyx∴223sin2yxy，221cos2xxy，tan3yx变式1已知角的终边在直线043yx上，求tan,cos,sin的值．解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝t2＋－3t2＝5|t|，当t0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－344或sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.考点二三角函数线、三角函数值的符号例2已知costan0，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角答案：C例3函数y的值域是（）A.{-1，1}B.{-1，1，3}C.{-1，3}D.{1，3}答案：C例4已知sinsin，则下列命题成立的是（）A．若、是第一象限角，则coscosB．若、是第二象限角，则tantanC．若、是第三象限角，则coscosD．若、是第四象限角，则tantan答案：D变式24tan3cos2sin的值A．大于0B．小于0C．等于0D．不确定答案：B例5已知21cos，求角的集合．思维启迪：解三角不等式，可以利用三角函数线．解作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z}．|sin|sinxxcos|cos|xx|tan|tanxx5探究提高(1)熟练掌握三角函数在各象限的符号．(2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式(组)定出角的范围；③求交集，找单位圆中公共的部分；④写出角的表达式．变式323sinxy的定义域为________．答案{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，k∈Z}解析∵sinx≥32，作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，k∈Z}．考点三扇形弧长、面积公式的应用例6半径为cm，圆心角为120所对的弧长为（）A.3cmB.23cmC.23cmD.223cm答案：D(易错题)点评：强调角度换成弧度，引导学生转变观念和习惯。例7(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为cm20；当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)设扇形的圆心角为θrad，则扇形的周长是2r＋rθ.依题意：2r＋rθ＝πr，∴θ＝(π－2)rad.∴扇形的面积S＝12r2θ＝12(π－2)r2.6(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，即l＝20－2r(0r10)．∴扇形的面积S＝12lr＝12(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25.∴当r＝5时，S有最大值25，此时l＝10，α＝lr＝2rad.因此，当α＝2rad时，扇形的面积取得最大值．变式4已知一扇形的圆心角为)0(，所在圆的半径为R.(1)若cmR10,600，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值)0(CC，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？思维启迪：(1)弓形面积可由扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数．解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝10π3(cm)，S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－12×102×sinπ3＝503π－5032＝50π3－32(cm2)．(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝C2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12α·C2＋α2＝C22α·14＋4α＋α2＝C22·14＋α＋4α≤C216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C216.探究提高(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．(3)记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S＝12αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0α2π)为圆心角，S是扇形面积．考点四同角三角函数的关系7题型一:sin,cos,tan的相互转化知一求二是基础例8若45sin，0tan，则cos（）A．35B．35C．45D．45答案：B例9（1）已知3tan，且为第三象限角，求cos,sin的值；（2）已知31cos，求tansin的值；（3）已知2tan，求值：①2sincossincos；②cossinsin2．答案：1）31010sin,cos10102）当为第二象限角时，324tansin；当为第三象限角时，324tansin3）1，25变式5已知为某三角形的一内角，且1sincos5，求sin，cos，tan的值．答案：4sin5，3cos5，∴4tan3变式6已知3tan，求下列各式的值：①4sincos3sin5cos；②2222sin2sincoscos4cos3sin；③222sin3sincos2cos答案：①1114②223③710（上下齐次是关键）变式7已知sin2cos53sin5cos，那么tan的值为（）A．－2B．2C．1623D．－1623答案：D8题型二:22sincos1的运用常用思路1:构建齐次式常用思路2：sincos,sincos,sincos的转化例10已知4sincos(0)34,则sincos的值为（）A．23B．23C．13D．13答案：B变式8(1)若角是第二象限角，化简211tansin；(2)化简：21-21301301301130sincossinsin.答案：(1)-1(2)1变式9（1）若1sincos8，且42，则cossin_____（2）若是三角形的内角，且2sincos3，试判断三角形的形状；答案：（1）32（2）钝角三角形考点五诱导公式题型一利用诱导公式化简求值例11已知51sin(),cos25那么（）A.25B.15C.15D.25答案：C9变式10已知sin()2sin()2,则tan__________;答案：2例121cos()2，322，sin(2)的值为（）A.23B.21C.23D.—23答案：A变式111cos5，且是第四象限的角，那么cos()2______答案：265（易错题）变式12已知tan2x，则52cos()3sin()224sin(2)9cos()xxxx答案：1变式13已知：31sin()lg10，求值cos(3)cos(2)3cos()[cos()1]cossin()cos2答案：18变式14化简：212sin40cos40cos401sin50；答案：1变式15若(cos)cos2fxx,则(sin15)f____________.答案：32点评：在学习二倍角公式之前，这题可以用诱导公式做，考察函数解析式的基本概念，出题新颖10题型二利用诱导公式求任意角的三角函数负角变正，大角变小，小变锐角例130600sin的值为（）A.22B.22C.23D.23答案：C变式16化简sin2013的结果是()A.sin33B.cos33C.sin33D.cos33答案：C变式1762013sin的值为（）A.12B.21C.1D.1答案：D变式18计算题：25π26π25πsincostan()634答案：1【课后练习】1．已知cosθ·tanθ0，那么角θ是()A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角答案C解析若cosθ0，tanθ0，则θ在第四象限；若cosθ0，tanθ0，则