二面角专题习题

求二面角专题45如何用空间向量求解二面角求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量a、b，有cos＜a，b＞=||||baba．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题．例1在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．证明：建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，依题意得AB=(0，1，0)，是面VAD的法向量，设n=(1，y，z)是面VDB的法向量，则0,0.nVBnVB1,33yzn=(1，－1，－33)。∴cos＜AB，n＞||||ABnABn=－217，ABCVDxyz又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角为锐角，所以其大小为21arccos7例2如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．⑴求证CD⊥平面BDM；⑵求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．解：⑴略⑵如图，以C为原点建立坐标系.设BD中点为G，连结B1G，则依G(324，14，14)，BD=(－22，12，12)，1BG=(－24，－34，14)，∴BD·1BG=0，∴BD⊥B1G．又CD⊥BD，∴CD与1BG的夹角等于所求二面角的平面角．∴cos=11||||CDBGCDBG=－33．所以所求二面角的大小等于－arccos33．例3如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．求二面角C—PB—D的大小BB1C1A1CADMyxzGBB1C1A1CADM解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设aDC设点F的坐标为000()xyz，，，PA=PB，则000()()xyzaaaa，，，，．从而000(1)xayaza，，．所以PE=00011(,,)(,(),())2222aaxyzaaa．由条件EF⊥PB知，PE·PB=0，即0)21()21(222aaa，解得31．∴点F的坐标为2()333aaa，，，且()366aaaPE，，，2()333aaaFD，，，∴PB·FD22220333aaa，即FDPB，故EFD是二面角C—PB—D的平面角．∵PE·FD=222291896aaaa，且2226||936366aaaPEa，22246||9993aaaFDa，∴216cos266||||63aPEFDEFDPEFDaa，∴3EFD．所以，二面角C—PB—D的大小为3．zPFEDABCyxG例4已知三棱柱OAB—1OA1B1中，平面11OOBB⊥平面OAB，∠AOB=90，∠OBO1=60，且OB=1OO=2，OA=3，求二面角1O—AB—O的大小．解：以O为原点，分别以OA，OB所在的直线为x，y轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．如图，则O(0，0，0)，1O(0，1，3)，A(3，0，0)，1A(3，1，3)，B(0，2，0)．∴1AO=(－3，1，3)，AB=(－3，2，0)．显然OZ为平面AOB的法向量，取1n=(0，0，1)，设平面ABO1的法向量为2n=(x，y，z)，则2n·1AO=0，2n·AB=0．即023033yxzyx，令y=3，x=2，z=1，则2n=(2，3，1)．∴cos＜1n，2n＞=||||2121nnnn=221=42，即＜1n，2n＞=arccos42．故二面角1O—AB—O的大小为arccos42．xyzABB1A1O1O