材料力学-6-弯曲刚度

NanjingUniversityofTechnology材料力学(6)材料力学第6章弯曲刚度限制弯曲变形（刚度问题）工程中的弯曲变形问题第6章弯曲刚度机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处也将产生较大的变形。加大齿轮磨损，产生很大的噪声限制弯曲变形（刚度问题）影响两个齿轮之间的啮合机床主轴的挠度过大会影响加工精度；第6章弯曲刚度各种车辆中用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成。可以承受很大的力而不发生破坏能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。利用弯曲变形（刚度问题）第6章弯曲刚度求解静不定问题第6章弯曲刚度ABF1/2L1/2L(+)(+)FL321FL5129FL5129静不定梁建立补充方程利用弯曲变形（求解静不定问题）6.1梁的变形与位移6.3叠加法确定梁的挠度与转角6.5提高梁刚度的措施6.4梁的刚度问题6.2梁的小挠度微分方程及其积分第6章弯曲刚度6.6简单的静不定梁6.1梁的变形与位移第6章弯曲刚度BxwA■取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴（向右为正），横截面的铅垂对称轴为w轴（向下为正），xw平面为纵向对称面。■度量梁变形后横截面位置改变，即位移，有三个基本量。6.1梁的变形与位移1.基本概念B'ABxw转角B'挠度wCC'挠度deflection（w）：横截面形心C（即轴线上的点）的铅垂位移。转角slope（）：变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度。6.1梁的变形与位移ABxw转角B'挠度wCC'轴向位移（u）：横截面形心沿水平方向的位移。在小变形情形下，上述位移中，轴向位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。6.1梁的变形与位移xwwddtan■挠曲线：梁变形后的轴线。)(xww挠曲线ABxw转角B'挠度wCC'注意：当变形保持在弹性范围内，挠曲线为连续光滑曲线。挠度方程：)(x转角方程：2.挠度与转角的关系6.1梁的变形与位移在小变形条件下，挠度曲线较为平坦。即很小，因而上式中tan。于是有挠曲线ABxw转角B'w挠度CC'xwwddtanxwwdd挠度与转角的相互关系6.1梁的变形与位移■挠度和转角符号的规定挠度：向下为正，向上为负。转角：顺时针转为正，逆时针转为负。挠曲线ABxw转角B'w挠度CC'6.1梁的变形与位移6.2梁的小挠度微分方程及其积分第6章弯曲刚度力学中的曲率公式数学中的曲率公式EIM123222dd1dd1xwxwx1.小挠度微分方程6.2梁的小挠度微分方程及其积分纯弯曲时曲率与弯矩的关系为横力弯曲时,M和都是x的函数。细长梁可以略去剪力对梁的位移的影响,则EIxMx1A'A'中性层曲率中心O'O'变形后zdxyxd-yy小挠度情形下对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。EIxMxwxw23222dd1dd1dd22xwEIxMxw22dd本书规定的坐标系为：x轴水平向右为正,w轴竖直向下为正。6.2梁的小挠度微分方程及其积分MMoxwoxwMM因此,M与w的正负号正好相反，所以EIMxw22dd0dd,022xwM0dd,022xwMEIxMdxwd)(22（小挠度微分方程）6.2梁的小挠度微分方程及其积分近似原因：（1）略去了剪力的影响；（2）小挠度略去了w2项。对于等截面梁，弯曲刚度为常量时dddlMxwxCxEIEIxMdxwd)(222.小挠度微分方程的积分积分一次：（转角方程）积分二次：DCxdxdxEIxMw)(（挠度方程）式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。6.2梁的小挠度微分方程及其积分①在固定端处：xwAB梁的边界条件②在固定铰支座和滚动铰支座处：xABlw0,0,0wwxAA;0,0Awx.0,Bwlx3.小挠度微分方程积分常数的确定——梁的约束条件（边界条件和连续性条件）6.2梁的小挠度微分方程及其积分PABC梁的连续性条件CCCCwwABlaCMCCww①在集中力作用处：②在中间铰处：6.2梁的小挠度微分方程及其积分写出下图的边界条件、连续性条件：0,0AwxCCax，CCwwax，0,Bwlx0,0AwxCCax，CCwwax，BDBlwlx,EAhFByAlFCabBEAhDAlFCabB练习由M的方向确定轴线的凹凸性。由约束性质及连续光滑性确定挠度曲线的大致形状及位置。4.梁的连续光滑挠曲线的绘制6.2梁的小挠度微分方程及其积分试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。√×思考题1××弯矩？约束？连续光滑？试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。思考题2×××√弯矩？约束？连续光滑？试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。思考题3×××√弯矩？约束？连续光滑？例题1求：梁的挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布荷载。均布荷载集度为q，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。q、EI、l均已知。6.2梁的小挠度微分方程及其积分5、积分法求解小挠度微分方程举例解：1．建立Oxw坐标系2．建立梁的弯矩方程Oxw6.2梁的小挠度微分方程及其积分xM(x)FQ(x)21()02Mxqlxxl3．建立微分方程并积分将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得212EIwMqlxEIxMdxwd)(22例题1Oxw积分后，得到31'6EIwEIqlxC4124EIwqlxCxD212EIwMqlx6.2梁的小挠度微分方程及其积分例题14．利用约束条件确定积分常数固定端处的约束条件为：31'6EIwEIqlxC4124EIwqlxCxD00xw，d00dwxx，=33,624qlCqlDOxw6.2梁的小挠度微分方程及其积分例题15．确定挠度与转角方程31'6EIwEIqlxC4124EIwqlxCxD33,624qlCqlD336qlxlEI434424qwlxlxlEI6.2梁的小挠度微分方程及其积分6．确定最大挠度与最大转角从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。于是，将x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：3max6BqlEI4max8BqlwwEI例题1例题2求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。6.2梁的小挠度微分方程及其积分解：1．确定梁约束力首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。AB段解：2.分段建立梁的弯矩方程BC段于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为1P3044lMxFxx2PP3444llMxFxFxxl－－6.2梁的小挠度微分方程及其积分例题23．将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分211P2d30d44wlEIMxFxxx1P3044lMxFxx2PP3444llMxFxFxxl－－222PP2d3d444wllEIMxFxFxxlx＝－－＋－6.2梁的小挠度微分方程及其积分例题2积分后，得211P2d30d44wlEIMxFxxx12P183CxFEI113P181DxCxFEIw4．利用约束条件和连续性条件确定积分常数x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=222P2P242183ClxFxFEI223P3P246181DxClxFxFEIw222PP2d3d444wllEIMxFxFxxlx＝－－＋－6.2梁的小挠度微分方程及其积分D1＝D2=02P211287lFCC＝例题25．确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：22P378128FxxlEIAB段BC段xlxEIFxw23P128781222P317824128FlxxxlEIxllxxEIFxw233P128746181算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为EIlFwB3P25632P7128AFlEI2P5128BFlEI－6.2梁的小挠度微分方程及其积分例题2讨论：积分法步骤总结处理具体问题时的注意点EIxMdxwd)(22确定约束力分段建立挠度微分方程并积分利用约束条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角分段写出弯矩方程6.3叠加法确定梁的挠度与转角第6章弯曲刚度1.叠加法前提★在小变形，服从胡克定律的前提下挠度、转角与荷载均为一次线性关系6.3叠加法确定梁的挠度与转角实用的工具：挠度表（P157）为方便工程计算，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型荷载作用下的挠度和转角表达式一一列出，并形成手册。重要的方法：叠加法（superpositionmethod）应用叠加原理及常见静定梁在简单荷载作用下的挠度和转角，得到常见静定梁在复杂荷载作用下的挠度与转角。6.3叠加法确定梁的挠度与转角6.3叠加法确定梁的挠度与转角6.3叠加法确定梁的挠度与转角简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B。例题36.3叠加法确定梁的挠度与转角2.第一类叠加法——应用于多个荷载作用的情形321CCCC解：1.将梁上的荷载变为三种简单的情形。123BBBB6.3叠加法确定梁的挠度与转角例题32.由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和B截面的转角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,,,,,EIqlEIqlEIqlBBB333231311612416.3叠加法确定梁的挠度与转角例题33.应用叠加法，将简单荷载作用时的结果分别叠加。,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB33148116.3叠加法确定梁的挠度与转角例题3讨论：叠加法应用于多个荷载作用的情形的解题步骤处理具体问题时的注意点●将所得结果叠加●将其分解为各种荷载单独作用的情形●由挠度表分别查得各种情形下的挠度和转角二梁的受力(包括荷载与约束力)是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？思考题4位移不仅与变形有关，而且与约束有关。BC段有没有变形？有没有位移？没有变形为什么会有位移？FPABC总体变形是微段变形累加的结果。有位移不一定有变形。思考题5BC段梁均视为刚体。悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC和转角C。例题46.3叠加法确定梁的挠度与转角3.第二类叠加法——应用于间断性分布荷载作用的情形解：1.首先，将梁上的荷载变成有表可查的情形6.3叠加法确定梁的挠度与转角2．再将处理后的梁分解为简单荷载作用的情形，计算各个简单荷载引起的挠度和转角4143222181