初三数学几何综合练习题

1初三数学几何综合练习题1．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.（1）如图1，点D在BC边上.①依题意补全图1；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）.图1图22BAC2.已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．（1）当α=60°时，A’B过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.图1图2图333．如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.(1)依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；(2)若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB.将△CDE绕点D顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''CDE，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′.①如图2，当α=30°时，连接'BC．证明：EF='BC；②如图3，点M为DC中点，点P为线段''CE上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？αEDC'E'BCFAEDMC'E'BCFAP图1DCBA图2图344．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=80°，∠A+∠C=180°，点M是AD边上一点，把射线BM绕点B顺时针旋转40°，与CD边交于点N，请你补全图形，求MN，AM，CN的数量关系；（2）如图2，在菱形ABCD中，点M是AD边上任意一点，把射线BM绕点B顺时针旋12ABC，与CD边交于点N，连结MN，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM，CN，MN的数量关系是；（3）如图3，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在AD，CD上，若△DMN的周长为2，则△MBN的面积最小值为．MACBD图2图3BCAD图1MBCAD55.已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为边AB的中点.（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.66．△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．（1）如图1，当∠BAC为锐角时，①求证：BE⊥AC；②求∠BEH的度数；（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．图1图2ABHCABHCED77．在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE=12∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.（1）如果∠ACB=90°，①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；②如图2，当点P不与点A重合时，求CFPE的值；（2）如果∠CAB=a，如图3，请直接写出CFPE的值.（用含a的式子表示）图1图2图388．在菱形ABCD中，120ADC，点E是对角线AC上一点，连接DE，50DEC，将线段BC绕点B逆时针旋转50并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．（1）依题意补全图形；备用图（2）求证：EGBC；（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：_____________________________．EDCBAEDCBA99．在等边△ABC外侧作直线，点关于直线的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线于点E．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；（3）如图2，若60°∠PAB120°，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.APBAPAP图1ABCPABCP图21011．在△ABC中，90BAC．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点'A，连接'AC，BA'，'AC与AB交于点E；（2）将图1中的直线BA'沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．图1图2备用图EABCHFECABDlBAC1112．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，易证BE=EF.（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：_____.（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图1图2图312北京各区2015数学一模答案1..解：（1）①补全图形，如图1所示.………………………1分②由题意可知AD=DE，∠ADE=90°.∵DF⊥BC，∴∠FDB=90°.∴∠ADF=∠EDB.……………………………………2分∵∠C=90°，AC=BC，∴∠ABC=∠DFB=90°.∴DB=DF.∴△ADF≌△EDB.……………………………………3分∴AF=EB.在△ABC和△DFB中，∵AC=8，DF=3，∴AC=82，DF=32.………………………………………………………………4分AF=AB－BF=52即BE=52.…………………………………………………………………………5分（2）2BD=BE+AB.……………………………………………………………………7分2.解:(1)当60时,BDAA.------------1分（2）补全图形如图1，BDAA仍然成立；------------3分（3）猜想BDAA仍然成立.证明：作AECC，AFCC，垂足分别为点,EF，如图2，则90AECAFC.∵BCBC，∴BCCBCC.∵90ACBACB，∴90ACEBCC，'90ACFBCC.图1图113∴ACEACF.在AEC△和AFC△中，90,,,AECAFCACEACFACAC∴AECAFC△≌△.∴AEAF.在AED△和AFD△中，90,,,AECAFDADEADFAEAF∴AEDAFD△≌△.∴ADAD.∵ABAB，∴'ABA△为等腰三角形.∴BDAA------------7分3．解：（1）补全图形，如图1所示；……1分证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD∴EB=ED又∵ED=BD∴EB=ED=BD∴△EBD是等边三角形………………2分（2）①证明：如图2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DC又∵点C与点F关于BD对称∴四边形BCDF为正方形，∴∠FDC=90°,CDFD∵30'CDCα∠图2图2FC'E'EBCD图1EDCBA14∴'60FDC∠由（1）△BDE为等边三角形∴60'EDBFDC∠∠,ED=BD∴'EDFBDC∠∠…………………3分又∵''EDCEDC△是由△旋转得到的∴'CDCDFD∴'EDFDBCSAS△≌△∴'EFBC…………………………4分②线段PM的取值范围是：21221PM－≤≤＋；设射线CA交BD于点O，I：如图3（1）当''ECDC,⊥''MPEC⊥，D、M、P、C共线时，PM有最小值.此时DP=DO=2，DM=1∴PM=DP-DM=2-1………………………5分II：如图3（2）当点P与点'E重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值.此时DP=DE′=DE=DB=22，DM=1∴PM=DP+DM=22+1………………………6分∴线段PM的取值范围是：21221PM－≤≤＋………………7分4．解：（1）………………………………………………………1延长DA到点E，使AE=CN，连接BE∵∠BAD+∠C=180°．∴∠EAB=∠C．又∵AB=BC，AE=CN，∴△ABE≌△CBN．∴∠EBA=∠CBN，BE=BN．…………………………………………………………2∴∠EBN=∠ABC．∵∠ABC=80°，∠MBN=40°，EMBCADN图3（1）MDDC'E'EOBCFP图3（1）MDDC'E'EOBCF（P）图3（2）15DPABCEFQPFEQDCBA∴∠EBM=∠NBM=40°．∵BM=BM，∴△EBM≌△NBM．∴EM=NM．…………………………………………………………………………3∴MN=AM+CN．……………………………………………………………………4（2）……………………………………………………5MNAM+CN………………………………………………………………………6（3）21……………………………………………5.解：（1）AE∥BF，QE=QF，（2）QE=QF，证明：如图2，延长EQ交BF于D，∵AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△BDQ和△AEQ中AEQBDQAQEBQDAQBQ∴△BDQ≌△AEQ（ASA），∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ是Rt△DEF斜边上的中线，∴QE=QF=QD，即QE=QF．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，∵AE∥BF，∴∠AEQ=∠D，在△AQE和△BQD中AEQBDQAQEBQDAQBQ，图3∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线，∴QE=QF．说明：第三问画出图形给1分EMACBDN-----------2分----------3分-----------7分-----------6分-----------5分-----------4分166．（1）①证明：∵AH⊥BC于点H，∠ABC＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH＝BH，∠BAH＝45°，∴△AHC绕点H逆时针旋转90°得△BHD，由旋转性质得，△BHD≌△AHC，∴∠1＝∠2．………………………1分∵∠1＋∠C＝90°，∴∠2＋∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC．………………………2分②解法一：如图1－1，∵∠AHB＝∠AEB＝90°，∴A，B，H，E四点均在以AB为直径的圆上，………………………3分∴∠BEH＝∠BAH＝45°．………………………4分解法二：如图1－2，过点H作HF⊥HE交BE于F点，∴∠FHE＝90°，即∠4＋∠5＝90°．又∵∠3＋∠5＝∠AHB＝90°，∴∠3＝∠4．在△AHE和△BHF中，，，，3421BHAH∴△AHE≌△BHF，………………………3分∴EH＝FH．∵∠FHE＝90°，∴△FHE是等腰直角三角形，∴∠BEH＝45°．………………………4分（2）补全图2如图