函数的定义域和值域知识题型总结(含答案)

函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式的集合.2．常见的三种题型确定定义域：①已知函数的解析式，就是.②复合函数f[g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f(x)的域.③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y＝f(x)中，与自变量x的值的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）例如：①形如y＝，可采用法；②y＝，可采用法或法；③y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c，可采用法；④y＝x－，可采用法；⑤y＝x－，可采用法；⑥y＝可采用法等.例1.求下列函数的定义域：（1）y=(2)y=;解：（1）由题意得化简得即故函数的定义域为{x|x＜0且x≠-（2）由题意可得解得故函数的定义域为{x|-≤x≤且x≠±（3）要使函数有意义，必须有即∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）变式训练1：求下列函数的定义域：（1）y=+(x-1)0;(2)y=+(5x-4)0;(3)y=221x)32(2312xxxx121xxxcos2sinxxx||)1(0232531xx1·1xx,0||01xxx,||1xxx.01xx,050322xx.553xx553,0101xx,11xx212)2lg(xxx)34lg(2xx225x典型例题解：（1）由得所以-3＜x＜2且故所求函数的定义域为（-3，1）（2）由得函数的定义域为（3）由,得借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为例2.设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域（1）y=f(3x);(2)y=f((3)y=f((4)y=f(x+a)+f(x-解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤的定义域为［0,］（2）仿（1）解得定义域为［1，（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集列出不等式组故y=f的定义域为.（４）由条件得讨论：①当即0≤a≤时，定义域为［a,1-a］②当即-≤a≤0时，定义域为［-a,1+a］综上所述：当0≤a≤时，定义域为［a，1-a］；当-≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x-a)（0＜a＜）的定义域是（）A.［a，1-a］［-a，1+a］［0，1］解：例3.求下列函数的值域：01,012022xxxx1,432xxx045,134034xxx54,2143xxx).,54()54,21(21,430cos0252xx,)(222255Zkkxkx.5,23)2,2(23,5x1)31()31xfx3131)31(x)31(x,32313431323113101310xxxxx)31()31(xfx32,31,111010axaaxaaxax,11,1aaaa21,1,aaaa21212121（1）y=(2)y=x-(3)y=解：（1）方法一（配方法）∵y=1-而∴0＜∴∴值域为.方法二（判别式法）由y=得(y-1)∵y=1时,1.又∵R，∴必须=(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴∵∴函数的值域为.（2）方法一（单调性法）定义域，函数y=x,y=-均在上递增，故y≤∴函数的值域为.方法二（换元法）令=t,则t≥0，且x=-（t+1）2+1≤（t≥0）∴y∈（-∞，］（3）由y=得,ex=x＞0,即＞0,解得-1＜y＜∴函数的值域为{y|-1＜y＜变式训练3：求下列函数的值域：（1）y=(2)y=|x|解：（1）(分离常数法)y=-，∵≠0,∴y≠-.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-(2)方法一(换元法∵1-x2≥0,令x=sin,则有y=|sincos|=|sin2故函数值域为［0，］.方法二y=|x|·∴0≤y≤即函数的值域为.;122xxxxx211e1exx,112xx,4343)21(122xxx,34112xx.131y1,31,122xxxx.0)1(2yxyxyx,x.131y,1y1,3121|xxx2121,.2121212121,x21.212t2121211e1exx.11yyyy11521xx21x)52(2721x)52(27x21212121,41)21(122242xxxx,2121,0例4．若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值解：∵f（x）=(x-1)2+a-.∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调递增区间.∴f（x）min=f（1）=a-=1①f（x）max=f（b）=b2-b+a=b②由①②解得变式训练4：已知函数f(x)=x2-（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域解：(1）∵函数的值域为［0，∴Δ=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0∴a=-1或a=（2）对一切x∈R，函数值均非负,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0-1≤a≤,∴a+3＞∴f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).∵二次函数f(a)在上单调递减，∴f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4，∴f(a)的值域为.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.2121212121.3,23ba23232341723,123,1)23(4194,419小结归纳