新版精编2019高中数学单元测试《导数及其应用》专题测试版题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、填空题1．已知32()26(fxxxmm为常数）在[2,2]上有最大值3，那么此函数在[2,2]上的最小值为____________2．若不等式29lnbxcxx对任意的0+x，，03b，恒成立，则实数c的取值范围是▲．3．已知可导函数)(xf的导函数为)(xf，且满足)2(23)(2fxxxf，则)5(f.4．函数()fxlnxx2单调递减区间是▲。5．若对任意的xD,均有12fxfxfx成立，则称函数fx为函数1fx到函数2fx在区间D上的“折中函数”．已知函数11,0,fxkxgx1lnhxxx，且fx是gx到hx在区间1,2e上的“折中函数”，则实数k的取值范围为．6．如图为函数32()fxaxbxcxd的图象，'()fx为函数()fx的导函数，则不等式'()0xfx的解集为______7．曲线3()2fxxx在0P点处的切线平行于直线41yx，则0P点的坐标为．8．（文科、艺体学生做）曲线2xy的一条切线的斜率是4，则切点坐标是_____.oyx-33（理科学生做）已知直线l：y=－1及圆C：x2+(y－2)2=1，若动圆M与l相切且与圆C外切，则动圆圆心M的轨迹方程是.9．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。10．函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________11．曲线42xy上一点到直线1xy的距离的最小值为.答案162512．已知函数1)2(33)(23xaaxxxf既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是.二、解答题13．设函数322()fxxaxaxm(0)a（I）若1a时函数()fx有三个互不相同的零点，求m的范围；（II）若函数()fx在1,1内没有极值点，求a的范围；（III）若对任意的3,6a，不等式()1fx在2,2x上恒成立，求实数m的取值范围.（2010陕西省高考第四次模拟）关键字：含参；有零点；求导；求参数的取值范围；无极值点；恒成立问题；14．某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区。已知ABBCOABC，//，且ABBCAOkm24，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段。如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）15．设函数1()()fxaxabxbZ，，曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程为y=3．(Ⅰ）求()fx的解析式：(Ⅱ）证明：函数()yfx的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；(Ⅲ）证明：曲线()yfx上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．16．已知函数，a＞0，（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数()fx在21,e上的值域。17．已知函数，a＞0，（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设a=3，求在区间[1，]上值域。其中e=2.71828…是自然对数的底数。18．设函数()(1)()()fxxxxaaR,()fx的两个极值点为(,()),(,())AfBf,线段AB的中点为M.(1)如果函数()fx为奇函数,求实数a的值;当2a时，求函数()fx图象的对称中心；(2)如果M点在第四象限,求实数a的范围;(3)证明:点M也在函数()fx的图象上,且M为函数()fx图象的对称中心.19．设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．[解析]本题考查了函数与导函数的综合应用．由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.(1)当a＝3时，由(*)式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)解得a∈[1,9]，即a的取值范围[1,9]．20．设函数2()ln(1)fxxbx，其中0b．(Ⅰ）当12b时，判断函数()fx在定义域上的单调性；(Ⅱ）求函数()fx的极值点；(Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立．（山东理）21．已知函数1()lnfxaxa，a为常数。（1）若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与直线250xy垂直，求实数a的值。（2）求()fx的单调区间。（3）当1x时，()23fxx恒成立，求实数a的取值范围。关键字：对数；切线满足条件；求导；求参数的值；求参数的取值范围；求单调区间；恒成立问题；不能参变分离22．（本小题满分15分）已知aR，函数()ln()(1)fxxxax.（Ⅰ）若()fx在xe处取得极值，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）求函数()fx在区间21[,]ee上的最大值()ga.（注：'1[ln()]xx）23．已知函数f(x)＝mx2－x＋lnx.(1)当m＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；(3)当m＞0时，若曲线C：y＝f(x)在点x＝1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的值．24．某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R(米)的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA，EB，EC，ED所在圆的圆心都是O、半径都是R(米)、圆弧的圆心角都是(弧度)；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h(米)，且hR；灯脚1FA，1FB，1FC，1FD是正四棱锥1111FABCD的四条侧棱，正方形1111ABCD的外接圆半径为R(米)，四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为(弧度)．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a(元)，灯托造价是每米3a(元)，其中R，h，a都为常数．设该灯架的总造价为y(元)．(1)求y关于的函数关系式；(2)当取何值时，y取得最小值？(本小题满分16分)EF1A1B1C1DBCDAO25．设b0，函数2111()(1)ln2fxaxxbxabbb，记()()Fxfx（()fx是函数()fx的导函数），且当x=1时，()Fx取得极小值2．（1）求函数()Fx的单调增区间；（2）证明*()()22nnnFxFxnN≥．26．某公司需制作容积为216ml的长方体形饮料盒，饮料盒底面的长是宽的2倍．当饮料盒底面的宽为多少时，才能使它的用料最省?（本题满分10分）27．设[2,0]a,已知函数332(5),03,0(,).2xfaxxaxxxxxa(Ⅰ)证明()fx在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;(Ⅱ)设曲线()yfx在点(,())(1,2,3)iiixfxiP处的切线相互平行,且1230,xxx证明12313xxx.（2013年高考天津卷（文））28．若存在实数x0与正数a，使0xa，0xa均在函数()fx的定义域内，且00fxafxa成立，则称“函数f（x）在x=x0处存在长度为a的对称点”．（1）设32()321fxxxx，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x=1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．（2）设()bgxxx（x0），若对于任意x0（3，4），总存在正数a，使得“函数()gx在x=x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．（本小题满分16分）29．（本小题满分16分）已知函数2()(2)ln,fxxaxax其中常数0a．（1）当2a时，求函数()fx的单调递增区间；（2）当4a时，给出两组直线：60xym与30xyn，其中,mn为常数．判断这两组直线中是否存在y=()fx的切线，若存在，求出该切线方程；（3）设定义在D上的函数y=()hx在点P（00,()xhx）处的切线方程为l:()ygx，若0()()hxgxxx0在D内恒成立，则P称为函数y=()hx的“类对称点．当4a时，试问y=()fx是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．30．已知函数axxaaxxf2ln)2143(21)(22(1)当21a时，求)(xf的极值点;(2)若)(xf在'()fx的单调区间上也是单调的，求实数a的范围.