数学必修ⅰ北师大版-2.1函数概念-课件.

2.1函数概念【学习要求】1．通过实例，了解生活中的变量关系，体会变量与变量之间的相互关系；2．知道两变量之间有相互依赖关系不一定就有函数关系；3．了解两变量之间有函数关系具备的条件；4．理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，会求某些函数的定义域．【学法指导】通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，感受学习函数的必要性及重要性.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点1．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有______关系，只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有___________的值与之对应时，才称它们之间有函数关系．2．函数的概念：给定两个_________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在__________的数f(x)与之对应，那么就把___________叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或_______________.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的_________，集合____________叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．函数唯一确定非空数集唯一确定对应关系f{f(x)|x∈A}y＝f(x)，x∈A定义域本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点3．区间的概念：设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：(1){x|a≤x≤b}叫作_________，记作[a，b]；(2){x|axb}叫作_________，记作(a，b)；(3){x|a≤xb}叫作______________，记作[a，b)；(4){x|ax≤b}叫作______________________，记作(a，b]．实数集R可用区间表示为____________，把满足x≥a，xa，x≤b，xb的实数x的集合分别表示为________________________________________.闭区间开区间左闭右开区间左开右闭区间(－∞，＋∞)[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题情境：初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质．对于y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强．但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效探究点一高速公路上的函数关系导引1我国自1988年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位(如表)．表1988～2001年全国高速公路总里程单位：km年份1988198919901991199219931994总里程14727152257465211451603年份1995199619971998199920002001总里程2141342247718733116051631419453本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题1表格里有几个变量？谁随着谁的变化而变化？谁是因变量谁是自变量？它们之间的关系是什么关系？答有两种类型的数据：年份和总里程；总里程数随着年份的变化而变化，量程数可以看成是因变量，年份看成自变量，从而它们的关系是函数关系．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题2你能利用表中的数据画出总里程关于年份的函数图像吗？答问题3高速公路上我们还会联想到行驶的汽车，自然会想到时间与路程、速度之间的函数关系，除此之外还有什么变量是函数关系？答汽车的速度与耗油量也是时间的函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题4从以上里程与年份之间函数关系的呈现形式上看，两个变量的函数关系可以用哪些方法表示？答可以用列表法，图像法．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效导引2如图是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油．储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度w、储油量v是变量．问题1在“导引2”的变量中哪些变量之间存在着依赖关系？答储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面宽度w也存在着依赖关系．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题2在“导引2”的变量间依赖关系中哪些是函数关系？哪些不是函数关系？为什么？答储油量v与油面高度h之间的关系是函数关系，因为对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v与之对应，所以是函数关系；储油量v与油面宽度w的关系不是函数关系，因为对于油面宽度w的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v与它对应，所以不是函数关系．小结并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题3日期与星期之间存在怎样的依赖关系？这种依赖关系是函数关系吗？如果是，指出自变量和因变量．答是函数关系；自变量是日期，因变量是星期．问题4在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？如果是函数关系，指出自变量和因变量．答是函数关系；自变量是所加蔗糖的质量，因变量是糖水的质量浓度．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效探究点二函数的概念问题1初中关于函数是如何定义的？答在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．问题2初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？答初中学习过正比例函数，一次函数，反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题3因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？什么是函数关系？答因变量y随自变量x的变化而变化，当对任意一个x的取值都有唯一确定的值y与之对应时，则称y是x的函数．问题4函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定义域及值域是指什么？答给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题5如果给出的函数没有明确说明定义域，那么函数的定义域是什么范围？答是使函数的表达式有意义的允许取值范围．问题6如果函数涉及实际问题，那么求函数的定义域要注意什么？答注意它的定义域必须使实际问题有意义．问题7对于一个函数y＝f(x)，f(a)与f(x)有什么区别？答f(a)表示x＝a时函数f(x)的值，而f(x)表示的是关于x的函数关系．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效例1判断下列对应是否为函数：(1)x→2x，x≠0，x∈R；(2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R.解(1)对于任意一个非零实数，x，2x被x唯一确定，所以当x≠0时x→2x是函数，这个函数也可以表示为f(x)＝2x(x≠0)．(2)考虑输入值4，当x＝4时输出值y由y2＝4给出，得y＝2和y＝－2.这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以，x→y(y2＝x)不是函数．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效小结判断一个对应是不是函数，关键看与自变量x对应的y值是不是唯一，函数可以允许多个不同的x的值对应一个y值，但不允许一个x对应两个或两个以上的y值．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1下列各式是否表示y是x的函数关系？如果是写出这个函数的解析式，若不是说明原因．(1)5x＋2y＝1(x∈R)；(2)xy＝－3(x≠0)；(3)x2＋y2＝1(x∈(－1,0))；(4)x3＋y3＝1(x∈R)．解(1)5x＋2y＝1(x∈R)是函数关系，解析式为y＝－52x＋12；(2)xy＝－3(x≠0)是函数关系，解析式为y＝－3x(x≠0)；(3)x2＋y2＝1(x∈(－1,0))不是函数关系，因对于x∈(－1,0)的任意一个值，对应的y值有两个；(4)x3＋y3＝1(x∈R)是函数关系，解析式为y＝31－x3.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效探究点三区间的概念问题1阅读教材27页的中间一段，回答区间的概念是如何定义的？答设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫作闭区间，表示为[a，b]．(2)满足不等式axb的实数x的集合叫作开区间，表示为(a，b)．(3)满足不等式a≤xb或ax≤b的实数x的集合叫作半开半闭区间，表示为[a，b)或(a，b]．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题2实数集R及x≥a，xa，x≤b，xb如何用区间表示？答实数集R可以用区间(－∞，＋∞)表示；x≥a，xa，x≤b，xb用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效例2某山海拔7500m，海平面温度为25℃，气温是海拔高度的函数，而且高度每升高100m，气温下降0.6℃，请你用解析表达式表示出气温T随海拔高度x变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域．解函数解析式为T(x)＝25－0.6x100＝25－3500x.函数的定义域为[0,7500]，值域为[－20,25]．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效小结求实际问题中的函数关系式的定义域，除了考虑函数关系式有意义的自变量的范围外，还要注意定义域必须使实际问题有意义．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元．解设食品的重量为xkg，则食品的价格y元与重量xkg之间的函数关系式为y＝8x，函数的定义域为[0，＋∞)，当x＝8时，y＝64，所以8kg食品的价格为64元．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效例3求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1x－2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋12－x.解(1)∵当x－2≠0，即x≠2时，分式1x－2有意义，∴这个函数的定义域是{x|x≠2}．(2)∵当3x＋2≥0，即x≥－23时，根式3x＋2才有意义，∴这个函数的定义域是{x|x≥－23}．(3)∵要使函数有意义，必须x＋1≥02－x≠0⇒x≥－1x≠2.∴这个函数的定义域是{x|x≥－1且x≠2}．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效小结函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域．那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合．函数的定义域可用两种方法表示：集合、区间．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3求下列函数的定义域：(1)y＝－12x2＋1；(2)y＝x－2x2－4；(3)y＝1x＋|x|；(4)y＝x－1＋4－x＋2；(5)y＝4－x2＋1|x|－3；(6)y＝ax－3(a为常数)．解(1)x∈R；(2)要使函数有