1.2.2正弦定理(2个课时)

正弦定理正弦定理1.2.2正弦定理ABC3C2C1CBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:caAsincbBsin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCBbCDaCDABsin,sin所以CD=asinB=bsinA,即,sinsinBbAa同理可得,sinsinCcBbCcBbAasinsinsin即：DCabAB图1过点C作CD⊥AB于D,此时有若三角形是锐角三角形,如图1,探究一CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿上可得D若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2探究二正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即R2（R为ABC的外接圆的半径）剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：①已知两角和一边，求其他角和边.②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.RCcBbAa2sinsinsincbBCAaABC,,65,30,51，求中，已知在例类型一：已知两角一对边，求其他元素定理的应用练1在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。求a,b(精确到1）.解：且105C)(A180B∵CcBbsinsin∴b=CBcsinsin19=30sin105sin10CcAasinsin∵∴a=CAcsinsin14=21030sin45sin10BACabc)26(5类型一：已知两角一对边，求其他元素CbcBABC求中，已知在例,22,32,452类型二：已知两边一对角，求其他元素解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时,Ｂ＝60°C=90°,.32cC=30°,.16sinsinACac练2已知a=16，b=，A=30°.求角B，C和边c316当Ｂ＝120°时,B16300ABC16316两个均符合条件。,,BAba(1)(2)类型二：已知两边一对角，求其他元素变式1:a=30,b=26,A=30°求角B，C和边c练2已知a=16，b=，A=30°.求角B，C和边c316变式2:a=20,b=40,A=45°解三角形.变式3:a=22,b=25,A=133°解三角形.变式1:a=30,b=26,A=30°求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以Ｂ＝260,或Ｂ＝1800－260=1540由于1540+3001800故B只有一解（如图）C=1240,49sinsinACac变式1:a=30,b=26,A=30°求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以Ｂ＝25.70,C=124.30,57.49sinsinACac30137.25sin∵ab∴AB,三角形中大边对大角变式2:a=20,b=40,A=45°解三角形.解：由正弦定理BbAasinsin得22045sin40sinsinaAbB无解。,12已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解??思考课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：①已知两角和任意边，求其他两边和一角②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABCsinsinsinabcABC＝2RCBcbABC求中，已知在例,60,6,103作业课本P17A组第1题（2）（3）（4）课课练P8-9探究：OC/cbaCBA',90CCCBARCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,RcCC2sinsin'RCc2sin思考是否可以用其他方法证明正弦定理?BcaCADb向量法证法2:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.j证明：过A作单位向量j垂直于ACACCBAB由||||cos90||||cos(90)||||cos(90).jACjCBCjABA∴asinC=csinA.sinsinacAC同理，过点C作与垂直的单位向量，可得CBj.sinsincbCB.sinsinsinabcABCBCCAABjj则ABjCBjACjABjCBACj两边同乘以单位向量得j例题讲解解三角形中，已知，在例,9.42,8.81,0.321cmaBAABC2.66)8.810.32(180)(180BAC定理，解：根据三角形内角和)(1.800.32sin8.81sin9.42sinsincmABab根据正弦定理，)(1.740.32sin2.66sin9.42sinsincmACac根据正弦定理，已知两角和任意边，求其他两边和一角例题讲解)11(,40,28,20.2cmAcmbcmaABC，边长精确到角度精确到解三角形。中，已知在例.8999.02040sin28sinsinaAbB解：根据正弦定理，116,64,1800BBB或所以因为).(3040sin76sin20sinsin,76)6440(180)(18064)1(cmACacBACB时，当).(1340sin24sin20sinsin,24)11640(180)(180116)2(cmACacBACB时，当已知两边和其中一边的对角,求其他边和角两个均符合条件。,,BAba