等比数列及其前n项和-高考文科数学专题练习

一、填空题1．设等比数列{an}的公比q＝3，前n项和为Sn，则S4a2＝________.解析：S4＝a11－341－3＝40a1，a2＝3a1.∴S4a2＝403.答案：4032．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于________．解析：由已知可设公比为q，则(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)，∴(2q＋1)2＝3(2q2＋1)．∴2q2－4q＋2＝0.∴q＝1，∴an＝2.∴Sn＝2n.答案：2n3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝________.解析：由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴S9S6＝73.答案：734．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为________．解析：由题意易知q≠1，则91－q31－q＝1－q61－q，解得q＝2，数列{1an}是以1为首项，以12为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝3116.答案：31165．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是________．解析：设公比为q，则q3＝a5a2＝18，∴q＝12，a1＝4，故数列{an·an＋1}是首项为8，公比为14的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8[1－14n]1－14＝323[1－(14)n]，∵34≤1－(14)n1，∴8≤323[1－(14)n]323.答案：[8，323)6．在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，则此数列的公比q为________．解析：由已知a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，两式相减得a6－a5＝2a5，即a6＝3a5，所以q＝3.答案：37．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.解析：∵S99＝30，即a1(299－1)＝30.a3＋a6＋a9＋…＋a99＝4a1833－18－1＝47a1(299－1)＝47×30＝1207.答案：12078．数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a10＝________.解析：由已知得an＋1＝2an，故数列{an}是公比为2的等比数列，所以a10＝a3×27＝10×128＝1280.答案：12809．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，bn＝a3na2n＋1，且{bn}的前n项和为Tn，若对一切正整数n都有SnTn，则数列{an}的公比q的取值范围是________．解析：由于{an}是等比数列，公比为q，所以bn＝a3na2n＋1＝1q2an，于是b1＋b2＋…＋bn＝1q2(a1＋a2＋…＋an)，即Tn＝1q2·Sn，又SnTn，且Tn0，所以q2＝SnTn1.因为an0对任意n∈N*都成立，所以q0，因此公式q的取值范围是q1.答案：q1二、解答题10．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得a1＋d＝2a1＋4d＝8.∴a1＝0，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4，∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2.∴{bn}的前n项和Tn＝b11－qn1－q＝1×1－2n1－2＝2n－1.11．已知数列{an}和{bn}满足a1＝k，an＋1＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中k为实数，n∈N*.(1)证明数列{an}不是等比数列；(2)若数列{bn}是等比数列，求k的取值范围．解析：(1)证明：假设存在实数k使{an}是等比数列，则a22＝a1·a3，即(23k－3)2＝k(49k－4)，即49k2－4k＋9＝49k2－4k，∴9＝0显然矛盾，故假设不成立．∴{an}不是等比数列．(2)∵bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1(23an－2n＋14)＝(－23)·(－1)n(an－3n＋21)＝－23bn.又∵b1＝－(k＋18)，∴只需k≠－18，则b1≠0，由上可知bn＋1bn＝－23(n∈N*)．故若{bn}是等比数列，则只需要k≠－18，∴k的取值范围为(－∞，－18)∪(－18，＋∞)．12．已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….(1)求证数列{lg(1＋an)}是等比数列；(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项；(3)记bn＝1an＋1an＋2，求数列{bn}的前n项和Sn，并说明Sn＋23Tn－1＝1.解析：(1)证明：由已知得an＋1＝a2n＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2.∵a1＝2，∴an＋11，两边取对数得lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)，即lg1＋an＋1lg1＋an＝2.∴数列{lg(1＋an)}是公比为2的等比数列．(2)由(1)知lg(1＋an)＝2n－1·lg(1＋a1)＝2n－1·lg3＝lg32n－1，∴1＋an＝32n－1.(*)∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝320·321·322·…·32n－1＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1.由(*)式得an＝32n－1－1.(3)∵an＋1＝a2n＋2an，∴an＋1＝an(an＋2)，∴1an＋1＝12(1an－1an＋2)，∴1an＋2＝1an－2an＋1.又∵bn＝1an＋1an＋2，∴bn＝2(1an－1an＋1)．∵Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2(1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1)＝2(1a1－1an＋1)．∵an＝32n－1－1，a1＝2，an＋1＝32n－1，∴Sn＝1－232n－1.又∵Tn＝32n－1，∴Sn＋23Tn－1＝1－232n－1＋232n－1＝1.