温度应力问题

温度应力问题温度应力的基本概念•产生原因：（1）温度升高而膨胀，降低而收缩（2）受外部约束及各部分间的变形协调要求，膨胀或收缩不能自由发生，则产生应力•力（变形）场和温度场相互耦合•假定（不耦合）：（1）由热传导方程计算在给定的热力学条件下物体内的温度分布（2）将温度变化所产生的变形考虑，计算最终的变形和应力分布热传导基本概念•对于不同物体，从高温物体向低温物体传递•对于同一物体，热量从温度较高的部位向较低的部位传递不稳定温度场，温度是坐标位置和时间的函数，T=T(x，y，z，t)稳定温度场，温度仅是坐标位置的函数T=T(x，y，z)热传导基本定律•热流密度q与温度梯度T成正比，而方向相反q=TxTqxyTqyzTqzxTTT热传导微分方程WzqyqxqtTczyx若考虑稳定温度场，且物体内无热源，02T边界条件（1）给定边界处的温度，T(x，y，z，t)S=TS(x，y，z)（2）给定边界处的法向热流密度=qnS(x，y，z)（3）对流换热边界条件。弹性体表面温度为TS，周围介质温度为TaqnS=(TSTa)或=(TSTa)0时，这就是上面的绝热边界条件式时，可知TS=TaSnTSnT例题例：设圆管的内外半径分别为a和b，物体内各点的初始温度是均为T0。若经过热传导过程后，内外壁上分别保持均匀常温和，两端平面完全绝热，求管体内的定常温度分布。解：由轴对称和两端的温度条件，且物体内初始温度均匀，可知温度只是径向距离r的函数，T=T(r)•aTbT011222drdTrdrdrdrdTrdrTdT•其通解为T=C1lnr+C2•边界条件aaarTTTT0bbbrTTTT0abTTCabln1abaTbTCablnlnln2arTrbTabTablnlnln1热弹性基本方程应变两部分之和，（1）是因温度改变所引起的应变（2）是由于内部各部分之间的相互约束所引起的，即温度应力所引起的TijSijijTTzTyTx0TzxTyzTxy，Tij=TijEEzyxSxxySxyG1EExzySyyzSyzG1EEyxzSzzxSzxG1TTzTyTx0TzxTyzTxyTij=Tij本构关系•x=2Gx+xy=Gxy•y=2Gy+yz=Gyz•z=2Gz+zx=Gzx21TE21TE21TE热弹性平衡微分方程021)(xTExGuG2021)(yTEyGvG2021)(zTEzGwG2力边界条件由位移表示021lTEnxwmxvlxuGnzumyulxuGl021mTEnywmyvlyuGnzvmyvlxvGl021nTEnzwmzvlzuGnzwmywlxwGl等价于弹性力学问题•体积力•面积力合成后的面力垂直于表面，大小为xTEX21yTEY21zTEZ21lTEX21mTEY21nTEZ2121TE平衡微分方程解法•可分两步求解：（1）找出任意一组特解，这组特解并不一定满足边界条件；（2）找出齐次方程（T=0）的解，即等温下无体力作用的弹性问解，这组解与特解叠加后所得的解能满足边界条件。非齐次方程特解xuyvzwxTx112yTy112zTz112T112特解的应力22222zyGxyxGxy2222222xzGyzyGyz2222222yxGzxzGzx22特解并不满足边界条件平面应力问题在极坐标下的解TErr1TEr1rrE12rurru1T1222222211rrrr222111rrrEr221rErrEr11轴对称问题drdurTdrdrdrd1122drdrEr11221drdE1对于平面应变热弹性问题，将E换为，而换为21E•例7-2设长圆管的内外半径分别为a和b，内壁温度升高Ta，外壁温度保持不变，两端平面完全绝热，求管体内所产生的温度应力aTabrbTlnlnlnlnTdrdrdrd111221lnlnlnln2rbrabKTK1411ln2ln2lnln2rbabGKr1ln2ln2lnln2rbabGK•不满足边界条件•求齐次解：在圆筒内外壁分别受均匀拉力q1和q2•最终解为1lnln122qabGKarr2lnln2qabGKbrr22222lnlnlnln12raabrbabrbETar22222lnln1lnln12raabrbabrbETaabzr_+r