勾股定理单元测试题

勾股定理单元测试题一、相信你的选择1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为（）．A．16πB．12πC．10πD．8π2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm二、试试你的身手5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，且2a＝3b，c＝213，则a＝_____，b＝_____．6、如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是_____（精确到个位）．7、如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要元．三、挑战你的技能9、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正150o20米30米方形的边长依次为a2，a3，a4，……，an，请求出a2，a3，a4的值；（2）根据以上规律写出an的表达式．10、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（3取1.732，结果保留三个有效数字）11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？12、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）参考答案与提示一、相信你的选择1、D（提示：在Rt△ABC中，AB2＝AC2－BC2＝172－152＝82，∴AB＝8．∴S半圆＝21πR2＝21π×（28）2＝8π．故选D）；2、C（提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7，故选C）；3、A（提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt△AOB和Rt△A′OB′的斜边相等．由勾股定理，得32＋B′O2＝22＋72，B′O＝44，6＜B′O＜7，则O＜BB′＜1．故应选A）；4、D（提示：筷子在杯中的最大长度为22815＝17cm，最短长度为8cm，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h≤24－8，即7cm≤h≤16cm，故选D）．二、试试你的身手5．a＝b，b＝4（提示：设a＝3k，b＝2k，由勾股定理，有（3k）2＋（2k）2＝（213）2，解得a＝b，b＝4．）；6．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt△ABC，利用勾股定理，AB2＝AC2＋BC2＝192＋392＝1882，AB≈43）；7．3.6（提示：设DC＝x，则BD＝5－x．在Rt△ABD中，AD2＝52－（5－x）2，在Rt△ADC中，AD2＝62－x2，∴52－（5－x）2＝62－x2，x＝3.6．故AD＝226.36＝4.8）；8、150a．三、挑战你的技能9、解析：利用勾股定理求斜边长．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．∴在Rt△ABC中，AC＝22BCAB＝2211＝2．同理：AE＝2，EH＝22，…，即a2＝2，a3＝2，a4＝22．（2）an＝12n（n为正整数）．10、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D作DE⊥AB于点E，则ED＝BC＝30米，EB＝DC＝1.4米．设AE＝x米，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，则AD＝2x．由勾股定理得：AE2＋ED2＝AD2，即x2＋302＝（2x）2，解得x＝103≈17.32．∴AB＝AE＋EB≈17.32＋1.4≈18.7（米）．答：树高AB约为18.7米．11、解析：本题要注意判断角的大小，根据题意知：∠1＝∠2＝45°，从而证明△ABC为直角三角形，这是解题的前提，然后可运用勾股定理求解．B在O的东南方向，A在O的西南方向，所以∠1＝∠2＝45°，所以∠AOB＝90°，即△AOB为Rt△．BO＝16×23＝24（海里），AB＝30海里，根据勾股定理，得AO2＝AB2－BO2＝302－242＝182，所以AO＝18．所以乙船的速度＝18÷23＝18×32＝12（海里/时）．答：乙船每小时航行12海里．12、解如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由题意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，∴∠CBA＝∠BCD，∴BD＝CD．在Rt△ACD中，∠CAB＝30°，∴AC＝2CD．设CD＝DB＝x，∴AC＝2x．由勾股定理得AD＝22CDAC＝224xx＝3x．∵AD＋DB＝2，∴3x＋x＝2，∴x＝3－1．即CD＝3－1≈0.732＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．1．等边三角形的高是h，则它的面积是()A．h2B．h2C．h2D．h2答案：B说明：如图，ΔABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD=h，因为∠B=60º，AD⊥BC，所以∠BAD=30º；设BD=x，则AB=2x，且有x2+h2=(2x)2，解之得x=h，因为BC=2BD=h，所以SΔABC=BC•AD=•h•h=h2，所以答案为B．2．直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为()A．12cm2B．10cm2C．8cm2D．6cm2答案：D说明：设直角三角形的两条直角边长分别为xcm、ycm，依题意得：由①得x+y=7③，由③得(x+y)2=72，即x2+y2+2xy=49，因为x2+y2=25，所以25+2xy=49，即xy=12，这样就有S=xy=×12=6，所以答案为D．3．下列命题是真命题的个数有()①直角三角形的最大边长为，短边长为1，则另一条边长为②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为③在直角三角形中，若两条直角边长为n2−1和2n，则斜边长为n2+1④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D说明：①因为另一条直角边长的平方为()2−12=3−1=2，所以另一条边长为是正确的；②设两直角边为k和2k，而由已知•k•2k=2，所以k=，故两直角边长为，2，所以斜边长为=，故②正确；③因为(n2−1)2+(2n)2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，故③正确；④由面积、底边上的高可得底边为6，故底边的一半为3，所以斜边长为=5，故④正确；所以答案为D．4．直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为m，则这个三角形的周长是()A．+2mB．+mC．2(+m)D．2+m答案：C说明：如图，设AC=x，BC=y，则xy=S；因为CD为中线，且CD=m，所以AB=2CD=2m，所以x2+y2=(2m)2=4m2，(x+y)2=x2+2xy+y2=(x2+y2)+2xy=4m2+4S，即x+y=，所以ΔABC的周长为：AC+BC+AB=x+y+2m=+2m=2(+m)，答案为C．5．如图，已知边长为5的等边ΔABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是()A．10−15B．10−5C．5−5D．20−10答案：D说明：设DC=x，因为∠C=60º，ED⊥BC，所以EC=2x因为ΔAEF≌ΔDEF，所以AE=DE=5−2x由勾股定理得：x2+(5−2x)2=(2x)2，即x2−20x+25=0，解得x==10±5因为DCBC=5，所以x=10+5应舍去，故x=10−5，所以CE=2x=2(10−5)=20−10，答案为D．6．如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：C说明：①若a为斜边长，则由勾股定理有22+42=a2，可得a=2；②若a为直角边长，则由勾股定理有22+a2=42，可得a=2，所以a的取值可以有2个，答案为C．7．小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为()米A．0.7B．0.8C．0.9D．1.0答案：A说明：因为墙与地面的夹角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯脚与墙脚的距离为===0.7，答案为A．8．一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为()A．6B．8C．10D．12答案：C说明：设直角边长为x，则斜边为x+2，由勾股定理得x2+62=(x+2)2，解之得x=8，所以斜边长为8+2=10，答案为C．9．如图，在ΔABC中，若ABAC，AE为BC上的中线，AF为BC边上的高，求证：AB2−AC2=2BC·EF证明：因为AF⊥BC，所以在RtΔAFB中，由勾股定理得：AB2=AF2+BF2在RtΔAFC中，由勾股定理得：AC2=AF2+FC2所以AB2−AC2=BF2−FC2=(BF+FC)(BF−FC)=BC•(BF−FC)因为BF=BE+EF，FC=EC−EF，BE=EC所以BF−FC=2EF所以AB2−AC2=BC•2EF=2BC•EF10．如图，ΔABC中，∠A=90º，E是AC的中点，EF⊥BC，F为垂足，BC=9，FC=3，求AB．解：如图，作AD⊥BC因为EF⊥BC，所以AD//EF因为E为AC中点，所以F为DC的中点因为FC=3，所以DF=3，DC=3+3=6因为BC=9，所以BD=9−6=3设EC=x，则AC=2x由勾股定理得：AC2=AD2+DC2，AB2=AD2+BD2所以AC2−AB2=DC2−BD2①即AC2−AB2=62−32=27因为∠A=90º，由勾股定理得AB2+AC2=BC2=81②由②−①得2AB2=81−27=54，所以AB2=27，即AB==3习题精选二1．判断题⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角．⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半．”的逆命题是真命题．⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形．⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形．答案：对，错，错，对；2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形．B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°．C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形．D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形．答案：D3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）A．a=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15C．a=，b=，c=D．a：b：c=2：3：4答案：D4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=，b=，c=；⑵a=5，b=7