中学数学建模

黑龙江省教育学院数学系曲巍函数与不等式数列三角几何函数与不等式一次函数模型二次函数模型幂函数、指数函数、对数函数模型不等式模型建模(或知识应用)提示1.实际问题中的数量关系模糊,数据孤立,要对有关数据作适当处理后借助于其内在规律或经验,将其理想化、函数模型化.2.抓住相关变量中的主要参变量关系展开分析与讨论.3.实际问题中的量具有特殊的含义,在建立函数或不等式关系时需注意其有意义的变化范围,不能只考虑纯数学关系.4.问题所讨论的结果最好具有范式,具有可推广性.一次函数模型•高跟鞋问题•如何选择广告上的优惠计划•包装与价格高跟鞋问题设某人下肢躯干部分长为x厘米,身高为l厘米,鞋跟高d厘米0.618xdld0.6180.382lxd鞋跟高度与好看程度的关系原比(x/l)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０．６０７１０．６０７１０．６０７１０．６０７１１６８１６８１６８１６８２．５３．５５４．５４．７７４８０．６１２９０．６１５１０．６１７３０．６１８如何选择广告上的优惠计划•[实际背景]为配合不同客户的需要,广告商设有以下优惠计划,以供客户选择.计划A:即时直接对话+自动数字传呼计划B:即时直接对话+自动数字传呼每月基本服务费﹩98﹩168免费通话时间首60分钟首500分钟以后每分钟收费﹩0.38﹩0.38留言信箱服务(选择性项目)﹩30﹩30•[问题]在两个计划中选择,你选择哪一项?•[分析](1)两项服务的不同点:计划A的每月基本服务费比计划B少,而计划B比计划A给客户的首段免费通话时间多.(2)模型假设与建立设t(分钟)为通话时间,而C(﹩)是所需付出的费用,则可列出计划A与计划B的付费函数关系式为:计划A:980.38(60)98Ct060t(t60)计划B:0500t1680.38(500)168Ct(t500)(3)究竟通话时间超过多少分钟,计划B会较计划A为优?0.38(t-60)+98=168得t=244.21(分钟)故当客户使用该服务的时间超过244分钟(约4小时)时,计划B较优.(4)问题推广若客户真的选择了计划B,最多可以比选择计划A省多少钱?•[解决]由图可知,起初计划A比计划B便宜﹩70,当使用时间超过60分钟,则两者差距缩小,直到Q点,两者已无差距,即表示两个计划在此时的优惠相同.由图,用户所得最大优惠差额为﹩97060tRSyy0C16898P60Q244SR500计划B计划At包装与价格某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的,有60g装和150g装两种规格.假设,冰淇淋售价=(冰淇淋成本+包装成本)(1+利润率),并且,包装成本与球形外壳表面积成正比.已知60g装冰淇淋售价1.50元,其中冰淇淋成本为每克1分钱,利润率为25%,问在利润率不变的情况下,150g装冰淇淋应售价多少?两种规格中,买哪种比较合算(≈3.684可供参考)?350•[分析]设60g装冰淇淋的包装成本为x元,根据题意,得解得x=0.60(元)又设60g装和150g装两种规格外壳表面积分别为s1、s2,容积为v1、v2,150g装冰淇淋包装成本为y元,根据题意,得1.50(600.01)(125%)x所以21,0.60yksks22223311150()()0.6060svysv从而30.6501.1052()2y元150125%3.26g故装冰淇淋售价为1500.01+1.1052（元）1.500.025()60两种规格的单位重量价格分别为3.26元和0.0217（元）150故买大包装合算二次函数模型渔场实际应养多少鱼关于饮水机的思考资金分配问题渔场实际应养多少鱼[问题]某渔场中渔群的最大养殖量为一定值m吨.为保证渔群的生产空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.由长期的统计数据可知,鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比,要想鱼群的年增长量最大,实际应养多少鱼?[建模分析]这一问题中涉及最大养殖量、实际养殖量、空闲量、空闲率、年增长量等多个量，其中最大养殖量为定值m吨，空闲量、空闲率、年增长量都随实际养殖量的变化而变化。[建立模型]假设实际养殖量为x吨，年增长量为y吨，则空闲量为(m-x)吨，空闲率为，由问题概述可建立目标函数为mxm2mxkykxxkxmm2()24kmkmxm4km2maxkmkm由y=-(x-)+知：m24m当x=时，y2即实际养殖量为最大养殖量的一半时，鱼群的年增长量最大，最大增长量为吨。4km042(0,2)kmmmkk再由可得，比例系数的取值范围是关于饮水机的思考•基本假设（１）忽略饮水机启动时所需的电能（２）当人回来时，水的温度恰为制热所能达到的最高温度．•符号的约定饮水机的制热功率（单位：Ｗ）饮水机的保温功率（单位：Ｗ）饮水机的制热最低温度（单位：）饮水机的保温最低温度（单位：）饮水机机内水的质量（单位：kg）oCoC2T1P2P1TM饮水机的电阻（单位：）饮水机的工作电压（单位：Ｖ）把水从室温加热到的时间（单位：s）在保温情况下，从降到的间（单位：s）水的比热（单位：kg）RU1t2tCoC1T1T2T在保温过程中,水吸收的热量:21222QPtIRt22222pPtRtU水散失的热量:121()QCmTTQ单位时间内水散失的热量:221222222PCmTTPtRtUQQtt当外出开着饮水机时,在外出时间t内,消耗的电能:21WIRtQt221222222212222PtCmTTPtRtUPRtUttCmTTPtt当外出关掉饮水机时,回来后重新启动,饮水机消耗的电能:211WPt1.当时,则外出时开着饮水机较为省电,即12WW1222112tCmTTPtPtt所以1121222PtttCmTTPt2.当时,则外出时关掉饮水机较为省电,即1121222PtttCmTTPt12WW模型的应用与评价一台TC-9901LW型的饮水机,经测量,所需的数据如下:1550PW240PW0.5mkg110min600ts235min2100ts34.210/()oCJkgC1121222PtttCmTTPt355060021004.21095904021006600()110(min)s则资金分配问题有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所获得的利润依次为P万元和Q万元.它们与投入资金ｘ万元有如下经验公式:13,55PxQx现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金应如何分配投入?[建模分析]设对甲种商品投入ｘ万元,则投入乙种商品为(3-ｘ)万元,所获得的利润总额(万元)为13355yxx(03)x[模型求解]设,则3xt23xt(03)t则原函数变形为213355ytt213215220t03t当时,即30,32tmax2120y93344393344xx因此,为获取最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元,获得的最大利润为1.05万元.幂函数、指数函数、对数函数模型基本处理方法''(1)(0)lnln()lnlnlnbbyaxayaxxabxyy''幂函数型处理方法:两边取对数，有即lny=lna+blnxx设则原方程变为y'''(2)(0)lnlnbxyaeayyabxxxbx'指数函数型处理方法两边取对数得lny=ln(ae)即lny=lna+bxy设则原方程变成''''(3)lnlnyabxxxyabxyy对数曲线型处理方法：设原方程转化为交通流量问题•[生活背景]由于人口的增加,人们生活水平的提高,社会拥有车辆的数量在快速增加,许多大中城市都车满为患,塞车现象处处可见,所以每一位司机和乘客,都会共同关心交通流量的问题•交通流量的定义设某一辆车的车头与随后的车相隔的距离为ｄ,而行驶的车速为ｖ,定义单位时间内通过的车辆数为交通流量,则交通流量ｆ有以下关系式:vfd•分析定义车距:前车车尾至后车车头间的距离,记为,L表示车长.则'd'vfLd(1)在交通拥挤的情况下,由于,故'dLvfL(2)在交通畅通的情况(如高速公路)下,由于,故'Ld'vfd由于,其中t为煞车前的反应时间,'dkvt1vfkvtkt1vLfkt(交通拥挤时)(交通畅通时)所以故•评价遇上交通拥挤时,影响交通流量的主要是车速与车长,在这种情况下,车速自然要放慢,否则只会发生意外.因此,影响最大的因素就是车长,在马路上排队的短身车辆,明显地对交通流量增加有不小的“贡献”.至于在高速公路上,影响交通流量的最主要因素不是速度而是架车者的反应.不等式模型•洗衣问题•挑选水果问题•足球射门问题1,1xx设则（1）当01时，(1+x)（2）当0或1时，(1+x)1+x其中等号成立的充要条白努利不等式件为x=021122nn22222212n12nii(ab+ab++ab)(a+a+a)(b+b++b)当且仅当b=ca(i=1,2,,n,c为常数)时柯西不等式等号成立i+i12n1122nn1122nn12n若f(x)在区间I内上凸，则对任意xI,i=1,2,,n,以及任意R,i=1,2,,n+++=1必有f(x+x++x)f(x)+f(x)++f(x)若f(x)在区间I内下凸，则不等号反向，其中等号当且仅当琴生x=x==不等x式时成立12212211221211,nnnnjijijnnjijijnnnbabababababbababababab1112n12n12n12nii设aaa,bbb,i,i,,i与j,j,,j是1,2,n的任意两个排列，则aa（简称：倒序和乱序和排序不等式正序和）洗衣问题用洗衣机洗衣时,洗涤并甩干后进入漂洗阶段,漂洗阶段由多次漂洗和甩干组成,每次漂洗后可使残留物均匀分布,每次甩干后(包括洗涤后的甩干)衣物中的残留水分(含有残留物)的重量相同.若漂洗的总用水量为ａ千克,漂洗并甩干的次数为3次,为使漂洗后衣物中的残留物最少,该如何确定每次漂洗的用水量?设每次甩干后衣物中的残留水分(含有残留物)的重量为ｍ,洗涤并甩干后衣物中的残留物(不含水分)为,三次漂洗并甩干后衣物中的残留物(不含水分)分别为,三次用水量分别为.(以上各量单位皆为千克)0n123,,nnn123,,aaa000111111nmnnnnamammam则由已知,得同理可得01221202333121111111nnnaaammmnnnaaaammmm由及平均值定理,得123aaaa31233121111113aaammmaaammm313am当且仅当时等号成立.1233aaaa故03313nnam当且仅当时等号成立.1233aaaa则将ａ千克的水平均分成三次使用可使衣物上的残留物最少.挑选水果问题•果皮较厚且核较小的水果（如西瓜、橘子等）334()343RdR设水果果皮厚度为ｄ，则可食率ｄ为常数，当Ｒ越大即水果越大，则越小，可食率越大3(1)dRdRdR•果皮较厚且核（或籽集）较大的水果333