数学必修一：函数及其表示课件

1.2函数及其表示1．2.1函数的概念【课标要求】1．理解函数的概念，明确函数的三要素．2．能正确使用区间表示数集．3．会求一些简单函数的定义域．【核心扫描】1．函数的概念，求函数的定义域．(重点)2．对函数符号y＝f(x)的理解．(难点)3．函数相等的判定．自学导引1．函数的概念想一想：如何理解函数的对应法则？提示：对应法则f是函数关系的本质特征，y＝f(x)的意义是：y就是x在关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，如f(x)＝2x＋6，f表示2倍的自变量加上6，如f(3)＝2×3＋6＝12.2．区间概念(a，b为实数，且ab)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|axb}开区间(a，b){x|a≤xb}半开半闭区间[a，b){x|ax≤b}半开半闭区间(a，b]想一想：数集都能用区间表示吗？提示区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．其他区间的表示定义R{x|x≥a}{x|xa}{x|x≤a}{x|xa}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)名师点睛1．对函数的概念的理解(1)y＝f(x)表示y是x的函数，是一个整体符号，不是f与x的乘积．(2)在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系．①关于自变量，同学们刚接触的时候，会因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，当然也可以用t等表示自变量．②关于对应关系f，它是函数的本质特征，它好比是计算机中的某个“程序”，当f()中括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.提醒f(x)与f(a)，a∈A的区别与联系：f(a)表示当x＝a时的函数值，是常量，而f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量．2．定义域的求法：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．(6)①若y＝f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是a≤g(x)≤b的解集；②已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则当x∈[a，b]时，g(x)的函数值的取值集合就是f(x)的定义域．题型一函数概念的应用【例1】下列对应关系是否为A到B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[思路探索]可根据函数的定义直接判断．解(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中为负数的元素没有平方根，故在B中没有对应的元素且x不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．规律方法判断一个对应关系是否为函数的步骤：(1)判断A，B是否是非空数集．(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．【变式1】判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数．(1)A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝1x≥0，0x0；(2)A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝1x；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1；(4)A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,1}，对应关系如图．解(1)(4)是函数，(2)(3)不是函数．(1)对于A中任意一个非负数在B中都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数在B中都有唯一元素0与之对应，所以是函数．(2)集合A中的0元素在B中没有元素和它对应，故不是函数．(3)集合A中的0元素(或－1等等)，在B中没有元素和它对应，故不是函数．(4)集合A中的1和3在集合B中有唯一的－1与之对应，集合A中的2和4在集合B中有唯一的1与之对应，故是函数．题型二相等函数的判定【例2】判断下列各组函数是否是相等函数：(1)f(x)＝x＋2，g(x)＝x2－4x－2；(2)f(x)＝(x－1)2，g(x)＝x－1；(3)f(x)＝|x|，g(t)＝t2.[思路探索]可根据函数的三要素进行判定．解(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠2}．由于定义域不同，故f(x)与g(x)不是相等函数．(2)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，即定义域相同．由于f(x)与g(x)解析式不相同，则f(x)与g(x)不是相等函数．(3)两函数自变量所用字母虽然不同，但其定义域和对应关系一致，故是相等函数．规律方法判断两个函数f(x)和g(x)是否是相等函数的步骤是：①先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相等，否则它们不相等．【变式2】判断下列函数是否是相等函数．(1)f(x)＝2x＋1(x∈R)，g(x)＝2x＋1(x∈N*)；(2)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(3)f(x)＝x2，g(x)＝xx2.解(1)对应关系相同，但定义域不同，因而不是相等函数．(2)定义域、值域均相同，但对应关系不同，因而不是相等函数．(3)定义域相同，但对应关系不同，因而不是相等函数．题型三求函数的定义域【例3】(12分)求下列函数的定义域：(1)y＝x＋12x＋1－1－x；(2)y＝5－x|x|－3.审题指导列出不等式组→解不等式组→得定义域[规范解答](1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x＋1≠0，1－x≥0，(3分)解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(6分)(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5－x≥0，|x|－3≠0，(9分)解得x≤5，且x≠±3，即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．(12分)【题后反思】(1)求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起函数定义域的变化．(2)求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，其原则有：①分式中分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负；③对于y＝x0要求x≠0.【变式3】若f(x－1)的定义域是[0,1]，求f(－x)的定义域．解∵0≤x≤1，∴－1≤x－1≤0，∴f(x)的定义域是[－1,0]，又由－1≤－x≤0，得0≤x≤1，∴函数f(－x)的定义域是[0,1]误区警示考虑问题不全面导致丢解【示例】已知函数y＝2kx－8k2x2＋3kx＋1的定义域为R，求实数k的值．[错解]函数的定义域为R，即k2x2＋3kx＋1≠0对任意的实数x恒成立，∴Δ＝9k2－4k20，此时5k20，无解，∴k值不存在．本题忽视了k＝0的讨论，误认为f(x)＝k2x2＋3kx＋1一定是二次函数．[正解]问题转化为：求使k2x2＋3kx＋1≠0成立的k的值．(1)k＝0时，y＝－81＝－8，定义域为R，∴k＝0符合题意．(2)k≠0时，k20，∴k2x2＋3kx＋1≠0，即Δ＝9k2－4k20，此时5k20，无解．综上，k＝0时函数y＝2kx－8k2x2＋3kx＋1的定义域为R.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数．本题中k2x2＋3kx＋1≠0应注意二次项系数k2的讨论，不可掉以轻心．单击此处进入活页限时训练