建模过程-比列性和几何相似性

建模过程，比列性和几何相似性数学建模协会内部培训系统：模型研究的对象•一个系统就是由一些有规律的相互作用或内在的依赖关系连接在在一起的对象体。（动力系统）•研究的问题:1对于该系统是如何工作的？•2是什么造成了系统的变化及对某些变化的灵敏度？•3希望预测系统未来的变化以及何时发生变化？数学模型：为了研究特定的实际系统或现象而设计的数学结构，图示符号模拟和实验结构也包括在内。•有些现有的数学模型与特有的实例的现象是一致的，从而可以直接用来研究该问题。•有些数学模型专门用来构建出来并研究特定的一类问题。另一方面可以通过实验或某类模拟这个过程。•至于构造数学模型的疑难问题，各种各样的情况都有可能是我们放弃任何取得希望的成功。模型所涉及的数学是如此的复杂而且还难于处理，以至于几乎没有希望来分析或求解该模型，从而失去了模型的实用性。•实验和模拟的主要区别是直接实验得到的，还是间接模拟得到，这个在实际中区别不大。模型的性质•保真性：保证模型表示现实的真实性•成本：建模过程总花费•灵活性：当收集到足够的数据，改变和控制该模型的诸多条件的能力各类模型的比较（数据只反映大小并没有意义）020406080100120保真性费用灵活性图表标题实际观察实验模拟构建模型选择的模型图表解释---保真性•为了证明最大的保真性，我们会期望来之世界的直接观察，即便会产生某些测量误差和检验偏差。我们期待实验模型应仅次于直接观察的第二保真性，因为诸多行为已在实验室里精确被控制。由于模拟融入了间接的观察从而进一步丧失了一些保真性。由于构建模型开始就简化实际的模型的结构，结果会失去更多的保真性，由于简化了一些条件从而使得模型只在特定的条件下成立，从而有丧失一些保真性。而模型的选择则是基于模型的基础上，保真性最差。图表解释—费用•所构建的数学模型既然要考虑简化研究对象，就要承担相应的研究费用。实验的确立与验证通常是昂贵的。类似的模拟的过程需要用到研究出来的装置，而且模拟也通常需要大量的计算机的空间和时间以及维护费用。图表解释---灵活性•构建的数学模型是最灵活的，因为可以选择相应不同的假设和条件。选择的模型是针对特定的条件下针对特定对象完成的，不过特定的条件可以在更广泛的范围内变化。为了略微改变条件则需要更该模拟的设备的参数，实际在有些超出特定范围内则是无能为力。直接从现实中观察则是几乎没有灵活性可言，因为观察者被限定特定的时空里。模型的构建----1识别问题•社么是要探究的问题？通常这是困难的第一步，因为在现实生活中没有人会直接给出你个有待解决的数学问题。通常你必须对收集来的大量的数据进行分析处理以及确定研究方向。通过口头描述的问题转化成数学语言，这一过程也是非常重要，要达到十分精确，重要的是要认识到对问题的回答可能不会直接导致合用的问题的识别。构造模型-----2做出假设•一般的来说，不能指望一个合用的数学的模型中抓住影响问题的所有的因素。任务在于通过减少所考虑的因素的数目进行简化。于是，必须进行对剩余的变量之间的关系。再次通过假设相对简单的相对简单的关系，就能够降低问题的复杂性。因此就能降低问题的复杂性。•变量分类：什么能够影响到第一步建模识别问题的行为，首先，相比于该行为有关的因素影响，这个变量的影响就小一点。其次，已几乎相同的方式影响各种选择的的因素是可以忽略的，即使这个变量对结果影响是挺大的。•确定研究中所选变量之间的关系：也就是说，可以采用控制变量法，研究子模型，进而合并这些子模型，得出变量之间的关系。构造模型-----3求解模型或解释模型•现在把所有的子模型和在一起看看能够告诉我们什么。在某些情况下，该模型可能包含我们苦苦寻求的方程和不等式。问题常常要求最优解和最好解。•常常会发现为了完成这一步咱们的准备是不够，或者是得到一个不会求解的数学题或者是难以解释的模型。碰到这种情况我们应该返回到第二步并作出另外的简化，甚至要求回到第一步重新定义问题。构造模型---验证模型•在能够利用该模型之前，必须先验证该模型。在设计这些检验和收集数据（这可能是一个费事费力的过程）之前的几个问题。首先能付解释第一步中识别问题，或者是否偏离了我们的识别问题。•其次该模型在实用下有没有意义。•该模型有没有普世的意义。•关于从任何检验中得出的结论都要小心，就像不能简单地应用支持该定理的特列说明该定理成立。类似的不能通过收集到特殊的证据来证明该模型在一般情况下成立。一个模型之所以不能成为一个定理是因为定律是在某些特征下可以重复验证的到的，更确切的说是通过收集到的数据来验证模型的合理性。构造模型---5实施模型•当然模型不能一直呆在档案里，要用决策者和用户都能懂的语言来解释模型是否对他们有用。•如果模型不是处以用户好的模式那么很快被抛弃。•是否把推进运算的数据输入收集额外一步包括在内往往决定了模型的成败。构造模型-----6维修模型•记住模型开始于第一步针对特定的问题和第二部做出的假设推倒出来。原先的问题会有变化吗？或者先前忽略的问题会变很重要吗？子模型的一个需要调整吗？•纵观我们整个建模过程，发现了创造性和科学性的完美融合。头两步的更体现了艺术性和原创性，它们包括概括抽象出具体的问题，和忽略和判定一些变量的关系以及做出精确的假设，这些关系必须简单到能够完成后面的步骤。•切记我们完成了第三，第四步时，该模型也是一个不精确的。案例—车辆的停止距离•情景：考虑到经常在司机给出的规则：•正常的驾驶条件对车与车之间的距离要求是每10英里的速度可以允许一两车的跟随，但是在雨雪等路面状况不佳的时候则要求更长的跟随距离。做到这一点只需要一个两秒法则。不管什么条件下，都能正确的测出距离。看着你前面的汽车刚刚驶过一个固定点，然后默数1001和1002；这就是两秒法则。如果在你还未数完就已到达该点，则说明车子距离太近了。•很容易执行上面的法则，但是该法则有什么好处呢？识别问题•我们的终极目标是检验该法则是否有效或者在它失效时另一条法则。但是题目给出什么时候最有的描述却是含糊不清的，我们需要更多的细节来解释这个问题，或者自己另提一个问题，该问题的解决与回答有助于我们实现这个目标。•问题：预测作为车辆速率的函数的车辆的总的停止距离。假设•关于总的停止距离是由两部分组成的，反应距离和刹车距离，因此有个相当简单的模型•总的停止距离=反应距离+刹车距离。•现在开始探讨子模型，反应距离=∫（反应时间，速率）•刹车距离=∫（重量，速率）科学方法•对现象做出一般性的观察•形成关于现象的假设•研制检验该假设的一种方法•收集用于该检验数据•利用该数据来检验该假设•肯定或拒绝该假设模型构建的迭代性质（正向）考察该系统识别行为作出假设你能够形成一个模型吗？你能求解该模型吗？确证该模型结果够精确吗？作出预测并解释把结果用于该模型退出模型的简化vs模型的改进问题的识别限制问题的识别扩展问题变量忽略一些变量考虑额外的变量变量之间的关系若干变量的合并仔细考虑每个变量变量的初值令某些变量为常数允许变量发生变化变量之间关系假设简单的线性关系考虑非线性关系假设融入更多的假设减少假设的数量练习1：•练习1：情景是模糊陈述是模糊的，请从这些问题中筛选出有意义的研究问题。那些变量影响到问题识别中的你已经识别的问题？那些变量是最重要的？•记住，实际上没有正确答案。练习一•1单种群的增长。•2一家零售店要建造一个新的停车场，停车场应该怎么照明？•3一位农民期望他的地里种植的粮食农产品的产量达到最大，他正确的认识到问题了吗？•4怎样设计一个供大班级使用的演讲厅？•5一个物体从很高的地方落下，何时撞到地面？撞击力度有多大？•6某种产品制造商应该决定每年生产多少件商品，以及每件商品的标价是多少？练习2识别值得研究的问题并列出已经识别行为的变量。那些变量是可以完全忽略······•1一位植物学家有兴趣研究叶子的形状以及影响叶子长成这种形状的各种支配力量。她从一棵白橡树的底部剪下几片叶子，发现叶子相当宽且没有明显的锯齿形。当她到树的顶部去看时，她发现有明显的锯齿形而几乎没有展开很宽的叶子。•2不同的动物其他的特性也不同。小动物较之大动物，叫声纤细，心跳过快以及呼吸的次数更多。另一方面，较大的动物的骨骼比较小的动物的骨骼要强健。较大的动物直径与体长之比大于较小的动物。所以当动物的体格从小变大时，存在着某些规则的改变。•3一位物理学家想要研究光的性质。他想要研究当光从空气进入平静的湖面时光的传播路径。•4怎样提高我们的能力，使得每个学期都能报上最好的班级？•5讨论利用模型来预测实际的系统和利用实际系统来解释实际系统的差别？想象某些你要利用的模型来解释实际的系统和背景。类似地想象用模型来预测实际系统的情景？子模型•上大学是一项可靠的金融投资吗？四年的费用极高，且没有收入什么因素决定了大学教育的总费用？怎么确定为使这项投资有利可行的条件？•一对夫妇应该是买房子还是租房子？因为抵押房子在上涨，直观上存在一个抵押房子的上位，高于这个价位就决定不去买房子。什么变量决定了房子的总的抵押费用？•什么时候车主应该更新车子？什么因素影响到了车主做出决定？几何相似性建模•几何相似性是一个与比例性相关的概念并且有助于简化数学建模的过程•定义：如果两个物体各点之间存在一一对应，使得对应点之间的距离之比对所有的点对都不变（等于一个常数），我们就说这两个物体是几何相似的。•性质：几何相似只不过是几何体的简单的放大与缩小的关系几何相似性的检验案列---从不动的云层落下的水滴•假定对从高处落下的雨滴的终极速度感兴趣。考察下面自由落体的图解。假设•作用在雨滴上的只有重力和阻力。假设作用在雨滴上的阻力只与雨滴的表面积s和下落速度的乘积成比例。雨滴的重量和质量成正比（即在牛二定律是成立的）•公式：F=F(g)-F(d)=ma•在终极速度时的加速度为0•表达式为F(g)=F(d)•假设：所有的雨滴是几何相似的。~~~~案列：钓鱼比赛中的建模•出于保护的目的钓鱼俱乐部鼓励会员把钓到的鱼立刻放生。该俱乐部根据钓到的鱼的重量给与奖励：100磅俱乐部的荣誉会员，大赛中钓鱼总冠军等一系列的荣誉。垂钓者怎么确定所钓的鱼的重量？你可以给他们提一个建议随身携带一个便携秤，但这样操作起来不是很方便，尤其是对一些小鱼，并不准确。•识别问题：我们可以研究对于某个便于测量的量来预测鱼的体重。假设•容易识别出多种因素影响鱼的体重，比如鱼的种类：不同鱼的骨骼，肉的分布情况不一样：他们会有不同的单位体积的重量（重量密度），性别：由于雌雄发育不一样，尤其到了雌鱼产卵的时候体重会加大。•因为垂钓者寻求单一法则，这一开始就可限定鱼的种类比如鲈鱼，并且假设这种鱼的重量密度不随体型的大小发生变化。以后若发现这个重量密度差异比较大从而引起模型的误差比较大时，这一点是值得改进的。此外也可以忽略季节和性别。因此一开始我们预测鱼的体重只与鱼的体积有关。假设•所有的鲈鱼是几何相似的，即鲈鱼的体积只与某个特征量的立方成正比。注意我们没有假设鲈鱼的形状事实上所有的几何体的体积计算公式都是立方型的，而只是假设鲈鱼都是相似的。当然对于所有的点对满足互成比例时鲈鱼的基本外形是很不规则的。•先选鱼的长度l作为特征量。因此鲈鱼的体积事成比例•v∝l3•因为重量密度也是个常数，所以还不变。验证模型长度（L/英寸）14.612.517.2514.512.62517.7514.12512.625长度的立方倍3112.1361953.1255132.9531253048.6252012.3066415592.3593752818.1582032012.306641重量（w/盎司）2717412617492316长度（L/英寸）根据迄今给出较少的实验数据，我们发现是位于一条直线。斜率为26/3049=0.008530510152025303540450100020003000400050006000Y值把上模型的与预测结果进行扩展后得到下面标准长度（英寸）1213141516171819202122232425重量（盎司）1519232935425059687