知识点——集合与常用逻辑用语

知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】一、集合及其运算1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⊊B(或B⊋A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}【知识拓展】1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.二、命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且pq，则p是q的必要不充分条件；(5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．【知识拓展】1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⊊B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A⊋B，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．【易错提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则q”，其否命题为“若p，则q”．6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．【必会习题】1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3答案B解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2．设集合A＝{x|1x2}，B＝{x|xa}，若A⊆B，则a的取值范围是()A．{a|a≥2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≤2}答案A解析若A⊆B，则a≥2，故选A.3．已知集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|x－5或x5}，则M∪N等于()A．{x|－3x5}B．{x|－5x5}C．{x|x－5或x－3}D．{x|x－3或x5}答案C解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x－5或x－3}，故选C.4．满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是()A．1B．2C．3D．4答案D解析满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个．5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x0}，则A∪(∁UB)等于()A．[－1,0]B．[1,2]C．[0,1]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案D解析B＝{x|x2－2x0}＝(0,2)，A∪(∁UB)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.6．“x0”是“ln(x＋1)0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析ln(x＋1)0，解得0x＋11，∴－1x0，所以“x0”是“－1x0”的必要不充分条件．7．给出以下四个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若ab，则am2bm2；③在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是()A．①B．②C．③D．④答案C8．设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B＝∁U(A∩B)，若X，Y，Z为三个集合，则(X*Y)*Z等于()A．(X∪Y)∩∁UZB．(X∩Y)∪∁UZC．(∁UX∪∁UY)∩ZD．(∁UX∩∁UY)∪Z答案B解析∵X*Y＝∁U(X∩Y)，∴对于任意集合X，Y，Z，(X*Y)*Z＝∁U(X∩Y)*Z＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝(X∩Y)∪∁UZ.9．已知M是不等式ax＋10ax－25≤0的解集且5∉M，则a的取值范围是________________．答案(－∞，－2)∪[5，＋∞)解析若5∈M，则5a＋105a－25≤0，∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a＜5，∴5∉M时，a－2或a≥5.10．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0；命题q：实数x满足x2＋2x－80，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－4]解析由命题q：实数x满足x2＋2x－80，得x－4或x2，由命题p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0，得(x－3a)(x－a)0，∵a0，∴3axa，∵q是p的必要不充分条件，∴a≤－4，∴a∈(－∞，－4]．11．已知命题p：1－x＋12≤1，命题q：x2－2x＋1－m20(m0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵1－x＋12≤1⇔－1≤x＋12－1≤1⇔0≤x＋12≤2⇔－1≤x≤3，∴p：－1≤x≤3；∵x2－2x＋1－m20(m0)⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]0⇔1－mx1＋m，∴q：1－mx1＋m.∵p是q的充分不必要条件，∴[－1,3]是(1－m,1＋m)的真子集，则1－m－1，1＋m3，解得m2.