理论力学CAI汇总

2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学1刚体的定点运动•前言•动力学方程•陀螺近似理论刚体动力学/刚体的定点运动2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学2前言•刚体上存在某一点，在刚体运动时该点相对参考基始终保持不动，称这种运动为刚体的定点运动•在工程与生活中经常可以遇到此类运动–雷达跟踪天线–陀螺仪中的转子–行星齿轮系中动锥齿轮–玩具陀螺等刚体动力学/刚体的定点运动/前言•本节讨论刚体的定点运动与外作用力间的关系2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学3动力学方程•刚体对定点的动量矩•转动惯量阵的变换•欧拉动力学方程刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学4刚体对定点的动量矩刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩kPbybxbzyxOzkvkr•考虑绕定点O作定点运动的刚体e过定点O建立惯性基be连体基刚体的角速度矢量质点Pk的矢径kr速度矢量kkrv刚体对定点O的动量矩kkkkkkkkOrmrvmrLkkkkkkrrrrm2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学5刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩kPbybxbzyxOzkvkr刚体对定点O的动量矩kkkkkkOrrrrmL连体基坐标式TOzOyOxOLLLLT'zyxTkkkkzyxrkkkkkkOmrrrrLTTkkkykkzkkzkkxkkzkkykkzkkykkxkyzxzyxxyzyxzzxyxzym222222zOxzyOxyxOxOxJJJLxOyxzOyzyOyOyJJJLyOzyxOzxzOzOzJJJLOxJOxyJOxzJ2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学6刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩kPbybxbzyxOzkvkr刚体对定点O的动量矩TOzOyOxOLLLLT'zyxzOxzyOxyxOxOxJJJLxOyxzOyzyOyOyJJJLyOzyxOzxzOzOzJJJL对于刚体主轴连体基xOxOxJLyOyOyJLzOzOzJL2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学7刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩kPbybxbzyxOzkvkr刚体对定点O的动量矩TOzOyOxOLLLLT'zyxzOxzyOxyxOxOxJJJLxOyxzOyzyOyOyJJJLyOzyxOzxzOzOzJJJL•定义刚体相对点O的转动惯量阵OzOzyOzxOyzOyOyxOxzOxyOxOJJJJJJJJJJ'OOJL刚体对定点O的动量矩的矩阵式2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学8转动惯量阵的变换刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩刚体相对点O的转动惯量阵OzOzyOzxOyzOyOyxOxzOxyOxOJJJJJJJJJJbybxbzO描述刚体转动惯量特征常值阵对于基点为O的主轴连体基：对角阵OzOyOxOJJJ000000J•同点不同连体基的转动惯量阵的关系uyuxuzbeO连体基bOJuOJueO连体基ubbbubAJAJOO基点为O连体基的指向有关2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学9刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩•不同基点连体基的转动惯量阵的关系OJbybxbzO矢径CJzyxCCrTTCCCCCOmrrIrrJJbeO连体基ueC连体基与平行beueCrCre:b2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学10刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩/例zxxzC[例]均质圆盘的转子，质心为C。转子的转轴C与圆盘中心轴C有如图所示一小偏角zz试计算转子对于基的转动惯量与惯性积e2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学11刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩/解zxxzC[解]cos0sin010sin0cos－Aee相对于方向余弦阵圆盘主轴连体基CzCyCxCJJJ000000Jee转动惯量阵TAJAJCC2222cossin0cossin0'0cossin0sincosCzCxCxCzCyCxCzCzCxJJJJJJJJJcos0sin010sin0cos000000cos0sin010sin0cosCzCyCxJJJ－2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学12刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩/解对照zxxzC2222cossin0cossin0'0cossin0sincosCzCxCxCzCyCxCzCzCxCJJJJJJJJJJCzCzyCzxCyzCyCyxCxzCxyCxCJJJJJJJJJJ2222sin141sincosmrJJJCzCxCx241mrJJCyCy2222cos141cossinmrJJJCzCxCzcossin41cossin)(2mrJJJCxCzCzx0CxyJ0CyzJ2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学13欧拉动力学方程刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/欧拉动力学方程对定点的动量矩定理OOOLLLOOMLbybxbzyxOzOMOOOMLL在惯性基对时间的导数在连体基对时间的导数OOOMLL~在连体基的坐标式ωJωJLOOOωJLOOOOOJMJ''~'OxzyOyOzxOxMJJJ'OyxzOzOxyOyMJJJOzyxOxOyzOzMJJJ刚体定点运动的欧拉动力学方程对于主轴连体基欧拉动力学方程展开式常值阵2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学14刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩/解讨论OxzyOyOzxOxMJJJ'OyxzOzOxyOyMJJJOzyxOxOyzOzMJJJ对于主轴连体基欧拉动力学方程bybxbzyxOzOM只是时间或刚体角速度的函数OzOyOxMMM,,方程封闭)(),(),(tttzyx可解得OzOyOxMMM,,与刚体姿态有关欧拉角Tq函数方程不封闭必须附加欧拉运动学方程组可解得)(),(),(tttzyx)(),(),(ttt2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学15陀螺近似理论•一轴对称刚体绕该轴作高速转动的同时又绕轴上一定点运动，称此类刚体为陀螺刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学16刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论zyxOebzbxbyuxuyuzr惯性基e动基连体基beue与陀螺不固结陀螺的对称轴bzbuzz赖柴(Rèsal)基陀螺的自转角速度相对角速度矢量r陀螺的进动角速度相对于beueuee相对于牵连角速度矢量ebrurrzzzee陀螺的绝对角速度ureueueer)(zyxzyx运动分析2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学17刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论zyxOebzbxbyuxuyuzr主轴连体基beue陀螺的对称性主轴buzzureueue)(zyxzyx对定点O的动量矩ureueue)(zJyJxJLzOzyOyxOxOOxJOyJOzJ对两基的转动惯量相同ωJLOO陀螺的特征errurOzOzOJzJLOL陀螺动量矩近似表达式2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学18刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论zyxOebzbxbyuxuyuzrureueue)(zyxzyx•陀螺近似理论rurOzOzOJzJLOLPPv的矢端P速度OLPvPOvL动量矩定理OOMLPOvM陀螺对点O动量矩矢量的矢端速度与外力对该点的主矩相等陀螺近似理论的赖柴定理OM2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学19刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论•陀螺效应rurOzOzOJzJL动量矩定理OOMLue赖柴(Rèsal)基OOOLLLeOOMLeOOzMJreerOzOOJMM陀螺力矩zyxOebzbxbyuxuyuzrOLPOM作用于陀螺的外力矩OM如果只考虑理想约束力的作用陀螺对约束的作用的力矩强行改变高速转子转轴方向将在约束上受到陀螺力矩的现象称为高速转子的陀螺效应2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学20刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论/例[例]EXIT图示的一均质圆盘的转子绕其对称轴匀高速转动，转速n1。机座以角速度n2改变方向。转子的质量m=100kg，半径R=0.8m，转子在机座A与B的中间，机座A与B的间距l=2m。求机座上的受到的力Ominr/180001nminr/32n2n1nAB2020年8月4日理论力学CAI刚体动力学21刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论/解[解]EXIT惯性基eC运动分析22kgm2025.0mRJOzrad/s6006021rnrad/s1.06022en),(BAOFFMN76.5921erlJlMFFOzOBAOerAFABxyBF陀螺力矩erOzOJMerOzOJM