2020年高考理科数学试卷(全国1卷)(附详细答案)

12绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若z1i,则22zz()A．0B．1C．D．2解：z1iz22z=z(z2)=(1i)(i1)=i212=2|z22z|选D．2．设集合A=x|x240，B=x|2x+a0且A∩B=x|2x1则a（）A．-4B．-2C．2D．4解：A=[-2,2],B=(-∞,2a],A∩B=[-2,1]2a=1a=2.选B．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.514B.512C.514D.512解：设正四棱锥的底面边长为a,高为h，斜高为b,则222211154210224bbbabhbaaaa（舍负）.选C.4.已知A为抛物线C:y22pxp0上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p（）A．2B．3C．6D．9解：91262pp.选C.25.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据xi,yi（i1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A.yabxB.yabx2C.yabexD．yablnx解：选D．6.函数fxx42x3的图像在点1，f1处的切线方程为（）A．y2x1B．y2x+1C.y2x3D．y2x+1解：'32'()46,(1)1,(1)2fxxxfkf∴切线方程为(1)2(1)yx,即21yx.选B．7.设函数fxcos()6x在π,π的图像大致如下图，则fx的最小正周期为（）A.109B.76C.43D.32解：由图可知Tπ-(-π)2T,即222212又42,962kkZ92(2),43kkZ∴当0k时，32，从而43T，选C．8.25yxxyx的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20解：22555yyxxyxxyxyxx25yxxyx的展开式中含x3y3的项为22234455yxCxyCxyx3∴25yxxyx的展开式中x3y3的系数为245515CC,选C．9．已知0,π，且3cos28cos5，则sin（）A.53B.23C.13D.593cos28cos53（2cos2）8cos5=0（3cos+2)(cos2)=0∴cos=23这里0,π，所以2225sin1cos1()33，选A.10.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为△ABC的外接圆．若O1的面积为4，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为A．64πB．48πC．36πD．32π解：设AB=BC=AC=OO1=a，则O1A=33ar又22234123OSraa，从而24r在Rt∆O1OA中，22216Rar2464SR球选A.11.已知M::x2y22x2y20，直线l：2xy20，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2xy10B．2xy10C．2xy10D．2xy10解：22:(1)(1)4Mxy的圆心为M（1，1），半径为2PA，PB是M的切线，设PM∩AB=C，则PAAM，PMABACAMRtPAMRtACMPAPM，即1224ACAMPMABAMPAPAPAPM当|PM||AB|最小时，PA最小，此时，PMl，AB//l,22|2112|521PM由2AMMCMP，即225MC，得45MC∴41555PCPMMC4设AB:2x+y+c=0，则|2|1155cc∴AB:2x+y+1=0，选D．12.若242log42logabab，则（）A．a＞2bB．a＜2bC．a＞b2D．a＜b2解：显然2()2logxfxx是R+上的增函数若a2b，则()(2)fafb，即2222log2log2abab………………………❶又22422log42log2logabbabb………………………………………❷❶-❷得220log2log1bb怛成立，选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若x，y满足约束条件2201010xyxyy，则zx7y的最大值为解：解方程组22010xyxy得10xy作出可行域，平移直线x+7y=0，当直线x+7y=z经过点M（1，0）时，z最大，最大值为1+7×0=1.14.设a，b为单位向量，则|ab|1，则|ab|．22121211,1abaabbabab解：22221(1)133abaabbab15.已知F为双曲线2222:1xyCaba0,b0的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为．22:33,bbBFxBFaacaBFAFcaAF解轴又，即22332()caccaaeacaa516.如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图，AC=1，AB=AD=3，ABAC，ABAD，CAE30°，则cosFCB．解：在RtABC中，222BCACAB,在等腰RtPAB中，6PB在RtPAC中，222231cos3011PCPAACPC222221261cos22124PCBCPBPCBC三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设na是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求an的公比；(2)若11a，求数列nna的前n项和．解：（1）在等比数列na中，1332aaa，即221112202aaqaqqqq(2)11a，令1(2)nnbn012211(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)nnnSnn………❶123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)nnnSnn………❷❶-❷得1211(2)31(2)(2)(2)(2)(2)1(2)nnnnnSnn∴1[131(2)]9nnSn18．(12分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO(1)证明：PA平面PBC(2)求二面角B-PC-E的余弦值.(1)证明：不妨设底面圆的半径为1，则正三角形ABC的边长为3，AD=2,所以，OD=3,从而OP=22.6AEABCAEBCDOAEO是正的直径ADEBCBCPAPAADE平面平面在RtAOP中，216122APPB∴222ABPAPBPAPBDOABCABCDOBCBC平面平面PABCPAPBPAPBCPBBCB平面（2）解：分别以,OEOD所在直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系（如图）.则31(,,0)22B，31(,,0)22C，E(0,1,0)，2(0,0,)2P，A(0,-1,0)312(,,)222CP,(3,0,0)CB,31(,,0)22CE由（1）知2(0,1,)2AP是平面PBC的法向量，32AP设平面EPC的法向量是(,,)nabc，则312302223312022nCPnCPabcabcbnCEnCEab令b=1，得3(,1,2)3n，103n设,APn，则1125cos531023APnAPn∴二面角B-PC-E的余弦值为255.19．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．zxy7解：（1）甲连胜四场的概率为11111222216（2）根据赛制，至少需要进行4场比赛，至多需进行5场比赛。甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18；所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34丙最终获胜有两种情况:①比赛四场结束，且丙最终获胜的概率为18；②比赛五场结束，且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空的结果，有三种情况：(ⅰ)胜胜负胜；（ⅱ)胜负空胜；(ⅲ)负空胜胜.其概率分别为116，18，18；共116+18+18=516.∴丙最终获胜的概率为18+516=71620．（12分）已知A，B分别为椭圆E：2221xyaa1的左、右顶点，G为E的上顶点，8AGGB．P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．解：（1）(,0),(,0),(0,1)AaBaG，8AGGB，即2(,1)(,1)8183aaaa∴E的方程为2219xy（2）设(6,)Pm，则:(3),:(3)93mmPAyxPByx当m=0时，直线CD为x轴，纵坐标为0.